(Halliday cap 4 Ex 77) Um trem viaja para o sul a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (em relação ao solo) em meio a uma chuva que é soprada para o sul pelo vento. As trajetórias das gotas de chuva fazem um ângulo de 70^{\circ} com a vertical quando medidas por um observador estacionário no solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade escalar das gotas de chuva em relação ao solo. (a) 32 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
O carro A está viajando para o leste a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao encontro de um cruzamento. Enquanto o carro A está passando pelo cruzamento, o carro B parte do repouso 40 m ao norte do cruzamento e viaja para o sul, ganhando rapidez uniformemente a 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Seis segundos depois de A ter passado pelo cruzamento, encontre (a) a posição de B em relação a A, (b) a velocidade de B em relação a A, (c) a aceleração de B em relação a A. Dica: Faça vetores unitários \hat{i} e \hat{j} apontarem para o leste e o norte, respectivamente, e expresse suas respostas usando \hat{i} e \hat{j}.

Passo 1

Problema 1 (chuva e trem): O enunciado dá que um trem move-se para o sul com velocidade de \,30\\ \mathrm{m/s} em relação ao solo. Um observador no solo vê as trajetórias das gotas de chuva formando um ângulo de 70^\circ com a vertical. Um observador dentro do trem vê as gotas caírem exatamente na vertical. A pergunta é: determine a velocidade escalar (módulo da velocidade) das gotas de chuva em relação ao solo.
Informações relevantes listadas:
\,v_{\text{trem/solo}}=30\\ \mathrm{m/s} (para o sul), \theta=70^\circ (ângulo entre trajetória e vertical medido no solo), observador no trem vê gotas verticais (ou seja, velocidade relativa da chuva em relação ao trem é puramente vertical).
Problema 2 (carros A e B): O enunciado dá que o carro A move-se para o leste com velocidade constante de \,20\\ \mathrm{m/s} e passa pelo cruzamento no instante t=0. O carro B parte do repouso no mesmo instante a 40\\ \mathrm{m} ao norte do cruzamento e move-se para o sul com aceleração constante de \,2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}. A pergunta pede, para t=6\\ \mathrm{s} após A passar pelo cruzamento: (a) a posição de B em relação a A (usando \hat{i} para leste e \hat{j} para norte), (b) a velocidade de B em relação a A, (c) a aceleração de B em relação a A.
Todas as informações relevantes estão listadas acima; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Entendendo o primeiro problema — ideia física e escolha de variáveis:
Quando o observador no trem vê a chuva caindo verticalmente, isso significa que a componente horizontal da velocidade da chuva relativa ao trem é zero. Em termos de velocidades relativas:
\vec{v}_{\text{chuva/trem}}=\vec{v}_{\text{chuva/solo}}-\vec{v}_{\text{trem/solo}}.
A condição “chuva vertical para o observador do trem” significa que a componente horizontal (na direção sul-norte) de \vec{v}_{\text{chuva/trem}} é zero. Portanto a componente horizontal (para o sul) da velocidade da chuva em relação ao solo tem que ser igual à velocidade do trem (em módulo e direção).
Vou decompor a velocidade da chuva em duas componentes: horizontal (para o sul) v_h e vertical (para baixo) v_v. A figura mental: vertical para baixo e horizontal para o sul; o ângulo entre a trajetória e a vertical, medido no solo, é \theta=70^\circ.

Passo 3

Aplicando a condição de observador no trem:
Como dito, a componente horizontal da velocidade da chuva em relação ao solo deve ser igual à velocidade do trem para que, ao subtrair \vec{v}_{\text{trem}}, a componente horizontal desapareça. Logo
v_h=30\\ \mathrm{m/s}
em direção para o sul. (Este passo usa diretamente a relação de velocidades relativas e a interpretação física “vira vertical no trem”.)

Passo 4

Relacionando ângulo e componentes: definição de tangente do ângulo entre trajetória e vertical.
O ângulo \theta entre a trajetória e a vertical satisfaz
\tan\theta=\frac{\text{componente horizontal}}{\text{componente vertical}}=\frac{v_h}{v_v}.
Aqui v_v é o módulo da componente vertical (velocidade para baixo). Explicando: se você desenhar um triângulo retângulo com cateto vertical de comprimento v_v e cateto horizontal v_h, o ângulo entre a hipotenusa (trajetória) e o cateto vertical é tal que tangente = cateto oposto sobre adjacente, ou seja v_h/v_v.

Passo 5

Calcule a componente vertical v_v usando \tan 70^\circ:
Usando a fórmula do passo anterior,
v_v=\frac{v_h}{\tan\theta}=\frac{30}{\tan 70^\circ}\\ \mathrm{m/s}.
Agora aproximamos \tan 70^\circ. (Se não tiver calculadora, sabe-se que \tan 70^\circ é maior que 2{,}7; aqui uso o valor aproximado \tan 70^\circ\approx 2{,}7475.)
Portanto
v_v\approx\frac{30}{2{,}7475}\approx 10{,}92\\ \mathrm{m/s}.
Comento: v_v é a rapidez com que a gota desce (módulo da componente vertical).

Passo 6

Agora obtenha o módulo da velocidade total da gota em relação ao solo:
A velocidade total em módulo é a hipotenusa do triângulo formado por v_h e v_v:
v_{\text{chuva/solo}}=\sqrt{v_h^2+v_v^2}=\sqrt{30^2+10{,}92^2}\\ \mathrm{m/s}.
Calculando:
30^2=900,\qquad 10{,}92^2\approx 119{,}2,
v_{\text{chuva/solo}}\approx\sqrt{900+119{,}2}=\sqrt{1019{,}2}\approx 31{,}92\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando adequadamente, obtemos 32\\ \mathrm{m/s}, que é a resposta dada no enunciado.

Passo 7

Passando ao segundo problema — escolha de sistema de coordenadas e dados iniciais:
Escolhemos \hat{i} apontando para o leste e \hat{j} apontando para o norte (conforme sugestão do enunciado). Marcadores iniciais e vetores:
  • No instante t=0 (quando A passa pelo cruzamento) colocamos o cruzamento na origem.
  • Posição inicial de A: \vec{r}_A(0)=\vec{0}.
  • Velocidade de A: \vec{v}_A=(20)\,\hat{i}\\ \mathrm{m/s} (constante).
  • Posição inicial de B: \vec{r}_B(0)=40\,\hat{j} (pois está 40\\ \mathrm{m} ao norte).
  • Velocidade inicial de B: \vec{v}_B(0)=\vec{0}.
  • Aceleração de B: como B se move para o sul com intensidade 2{,}0\\ \mathrm{m/s^2}, isso é -2{,}0\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}.
Tempo de interesse: t=6\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Equações de posição e velocidade para movimento com aceleração constante (relembre):
Para qualquer partícula com aceleração constante \vec{a}, velocidade inicial \vec{v}_0 e posição inicial \vec{r}_0, no instante t vale:
\vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}t,
\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0 t+\tfrac{1}{2}\vec{a}t^2.
Explico os termos: \vec{v}_0 t é o deslocamento que ocorreria se a velocidade inicial se mantivesse constante; \tfrac{1}{2}\vec{a}t^2 é o acréscimo devido à aceleração (a famosa fórmula do movimento uniformemente acelerado).
Usaremos essas fórmulas componente a componente, lembrando que A tem aceleração nula.

Passo 9

Calcule a posição de A e de B em t=6\\ \mathrm{s}:
Para A (movimento a velocidade constante):
\vec{r}_A(6)=\vec{r}_A(0)+\vec{v}_A\cdot 6=0+ (20\,\hat{i})\cdot 6 = 120\,\hat{i}\\ \mathrm{m}.
Para B (parte do repouso com aceleração -2{,}0\,\hat{j}):
\vec{r}_B(6)=\vec{r}_B(0)+\vec{v}_B(0)\cdot 6 + \tfrac{1}{2}\vec{a}_B\cdot 6^2.
Substituindo:
\vec{r}_B(6)=40\,\hat{j} + \vec{0} + \tfrac{1}{2}(-2{,}0\,\hat{j})(36).
Calcule a parte acelerativa:
\tfrac{1}{2}(-2{,}0)(36) = -1{,}0\times 36 = -36.
Logo
\vec{r}_B(6)=40\,\hat{j}-36\,\hat{j}=4\,\hat{j}\\ \mathrm{m}.
Interpretação: após 6\\ \mathrm{s}, B está 4\\ \mathrm{m} ao norte do cruzamento.

Passo 10

Calcule a posição de B em relação a A no instante t=6\\ \mathrm{s}:
A posição relativa \vec{r}_{B\text{ em relação a }A}çã é
\vec{r}_{B/A}=\vec{r}_B-\vec{r}_A.
Substituindo os resultados:
\vec{r}_{B/A}=4\,\hat{j} - 120\,\hat{i} = -120\,\hat{i} + 4\,\hat{j}\\ \mathrm{m}.

Passo 11

Calcule as velocidades de A e B em t=6\\ \mathrm{s} e a velocidade relativa:
Velocidade de A: \vec{v}_A=(20)\,\hat{i}\\ \mathrm{m/s} (constante).
Velocidade de B usando \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}t:
\vec{v}_B(6)=\vec{0}+(-2{,}0\,\hat{j})(6)=-12\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade de B é 12\\ \mathrm{m/s} para o sul (por isso o sinal negativo na componente \hat{j}).
Velocidade de B em relação a A é
\vec{v}_{B/A}=\vec{v}_B-\vec{v}_A = -12\,\hat{j} - 20\,\hat{i} = -20\,\hat{i} -12\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 12

Calcule a aceleração de B em relação a A:
A aceleração relativa é simplesmente a diferença das acelerações:
\vec{a}_{B/A}=\vec{a}_B-\vec{a}_A.
Como A tem aceleração nula ( \vec{a}_A=\vec{0}) e B tem \vec{a}_B=-2{,}0\,\hat{j}, temos
\vec{a}_{B/A}=-2{,}0\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

32\\ \mathrm{m/s}
(a) -120\,\hat{i}+4\,\hat{j}\\ \mathrm{m}
(b) -20\,\hat{i}-12\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s}
(c) -2{,}0\,\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}

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