(Halliday cap 4 Ex 77) Um trem viaja para o sul a
(em relação ao solo) em meio a uma chuva que é soprada para o sul pelo vento. As trajetórias das gotas de chuva fazem um ângulo de
com a vertical quando medidas por um observador estacionário no solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade escalar das gotas de chuva em relação ao solo. (a)
O carro A está viajando para o leste a
ao encontro de um cruzamento. Enquanto o carro A está passando pelo cruzamento, o carro B parte do repouso 40 m ao norte do cruzamento e viaja para o sul, ganhando rapidez uniformemente a
. Seis segundos depois de
ter passado pelo cruzamento, encontre (a) a posição de
em relação a
, (b) a velocidade de
em relação a
, (c) a aceleração de
em relação a
. Dica: Faça vetores unitários
apontarem para o leste e o norte, respectivamente, e expresse suas respostas usando
.
Passo 1
Problema 1 (chuva e trem): O enunciado dá que um trem move-se para o sul com velocidade de
em relação ao solo. Um observador no solo vê as trajetórias das gotas de chuva formando um ângulo de
com a vertical. Um observador dentro do trem vê as gotas caírem exatamente na vertical. A pergunta é: determine a velocidade escalar (módulo da velocidade) das gotas de chuva em relação ao solo.
Informações relevantes listadas:
(para o sul),
(ângulo entre trajetória e vertical medido no solo), observador no trem vê gotas verticais (ou seja, velocidade relativa da chuva em relação ao trem é puramente vertical).
Problema 2 (carros A e B): O enunciado dá que o carro
move-se para o leste com velocidade constante de
e passa pelo cruzamento no instante
. O carro
parte do repouso no mesmo instante a
ao norte do cruzamento e move-se para o sul com aceleração constante de
. A pergunta pede, para
após
passar pelo cruzamento: (a) a posição de
em relação a
(usando
para leste e
para norte), (b) a velocidade de
em relação a
, (c) a aceleração de
em relação a
.
Todas as informações relevantes estão listadas acima; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Entendendo o primeiro problema — ideia física e escolha de variáveis:
Quando o observador no trem vê a chuva caindo verticalmente, isso significa que a componente horizontal da velocidade da chuva relativa ao trem é zero. Em termos de velocidades relativas:
Quando o observador no trem vê a chuva caindo verticalmente, isso significa que a componente horizontal da velocidade da chuva relativa ao trem é zero. Em termos de velocidades relativas:
A condição “chuva vertical para o observador do trem” significa que a componente horizontal (na direção sul-norte) de
é zero. Portanto a componente horizontal (para o sul) da velocidade da chuva em relação ao solo tem que ser igual à velocidade do trem (em módulo e direção).
Vou decompor a velocidade da chuva em duas componentes: horizontal (para o sul)
e vertical (para baixo)
. A figura mental: vertical para baixo e horizontal para o sul; o ângulo entre a trajetória e a vertical, medido no solo, é
.
Passo 3
Aplicando a condição de observador no trem:
Como dito, a componente horizontal da velocidade da chuva em relação ao solo deve ser igual à velocidade do trem para que, ao subtrair , a componente horizontal desapareça. Logo
Como dito, a componente horizontal da velocidade da chuva em relação ao solo deve ser igual à velocidade do trem para que, ao subtrair
em direção para o sul. (Este passo usa diretamente a relação de velocidades relativas e a interpretação física “vira vertical no trem”.)
Passo 4
Relacionando ângulo e componentes: definição de tangente do ângulo entre trajetória e vertical.
O ângulo entre a trajetória e a vertical satisfaz
O ângulo
Aqui
é o módulo da componente vertical (velocidade para baixo). Explicando: se você desenhar um triângulo retângulo com cateto vertical de comprimento
e cateto horizontal
, o ângulo entre a hipotenusa (trajetória) e o cateto vertical é tal que tangente = cateto oposto sobre adjacente, ou seja
.
Passo 5
Calcule a componente vertical
usando
:
Usando a fórmula do passo anterior,
Usando a fórmula do passo anterior,
Agora aproximamos
. (Se não tiver calculadora, sabe-se que
é maior que
; aqui uso o valor aproximado
.)
Portanto
Portanto
Comento:
é a rapidez com que a gota desce (módulo da componente vertical).
Passo 6
Agora obtenha o módulo da velocidade total da gota em relação ao solo:
A velocidade total em módulo é a hipotenusa do triângulo formado por e
:
A velocidade total em módulo é a hipotenusa do triângulo formado por
Calculando:
Arredondando adequadamente, obtemos
, que é a resposta dada no enunciado.
Passo 7
Passando ao segundo problema — escolha de sistema de coordenadas e dados iniciais:
Escolhemos apontando para o leste e
apontando para o norte (conforme sugestão do enunciado). Marcadores iniciais e vetores:
Escolhemos
- No instante
(quando passa pelo cruzamento) colocamos o cruzamento na origem. - Posição inicial de
: . - Velocidade de
: (constante). - Posição inicial de
: (pois está ao norte). - Velocidade inicial de
: . - Aceleração de
: como se move para o sul com intensidade , isso é .
Tempo de interesse:
.
Passo 8
Equações de posição e velocidade para movimento com aceleração constante (relembre):
Para qualquer partícula com aceleração constante , velocidade inicial
e posição inicial
, no instante
vale:
Para qualquer partícula com aceleração constante
Explico os termos:
é o deslocamento que ocorreria se a velocidade inicial se mantivesse constante;
é o acréscimo devido à aceleração (a famosa fórmula do movimento uniformemente acelerado).
Usaremos essas fórmulas componente a componente, lembrando que
tem aceleração nula.
Passo 9
Calcule a posição de
e de
em
:
Para (movimento a velocidade constante):
Para
Para
(parte do repouso com aceleração
):
Substituindo:
Calcule a parte acelerativa:
Logo
Interpretação: após
,
está
ao norte do cruzamento.
Passo 10
Calcule a posição de
em relação a
no instante
:
A posição relativa é
A posição relativa
Substituindo os resultados:
Passo 11
Calcule as velocidades de
e
em
e a velocidade relativa:
Velocidade de :
(constante).
Velocidade de
Velocidade de
usando
:
Velocidade de
é
para o sul (por isso o sinal negativo na componente
).
Velocidade de
em relação a
é
Passo 12
Calcule a aceleração de
em relação a
:
A aceleração relativa é simplesmente a diferença das acelerações:
A aceleração relativa é simplesmente a diferença das acelerações:
Como
tem aceleração nula (
) e
tem
, temos
Resposta
(a)
(b)
(c)