[KAROLINE GONCALVES DE ALBUQUERQUE] Um gás com n=1,4 \mathrm{~mol} sofre uma expansão isotérmica em T=310 \mathrm{~K} de um volume inicial V_{i}=1,2 \mathrm{~m}^{3} para um volume final V_{f}=2,1 \mathrm{~m}^{3}. Calcule o trabalho realizado W pelo gás.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelo gás durante uma expansão isotérmica. Dados fornecidos:
n=1,4\\ \mathrm{mol},
T=310\\ \mathrm{K},
V_{i}=1,2\\ \mathrm{m}^{3},
V_{f}=2,1\\ \mathrm{m}^{3}.
A pergunta é: qual é o trabalho W realizado pelo gás (em Joules) ao expandir isotermicamente de V_{i} para V_{f}.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Trabalho diferencial feito pelo gás quando o volume varia uma pequena quantidade \mathrm{d}V é
\mathrm{d}W = P\,\mathrm{d}V,
onde P é a pressão instantânea do gás. Isso vem da definição de trabalho em processos mecânicos: força vezes deslocamento; aqui a força por unidade de área é a pressão e o deslocamento corresponde à variação de volume.
  • Para um gás ideal, a pressão e o volume estão relacionados pela equação de estado:
P\,V = n R T,
onde
  • n é o número de mols (aqui \,n=1,4),
  • R é a constante universal dos gases, R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (explico: essa constante converte entre energia, quantidade de matéria e temperatura),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin (aqui T=310\\ \mathrm{K}).
Em uma transformação isotérmica (temperatura constante), T é constante, então podemos substituir P em \mathrm{d}W pela forma P=\dfrac{nRT}{V}.

Passo 3

Substituição e integração (passo a passo da conta matemática):
  • Substituindo P=\dfrac{nRT}{V} em \mathrm{d}W = P\,\mathrm{d}V obtemos
\mathrm{d}W = \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V.
  • Para obter o trabalho total quando o volume varia de V_{i} até V_{f}, integramos:
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V.
  • Como n, R e T são constantes no processo isotérmico, podemos tirá-los da integral:
W = nRT \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{1}{V}\,\mathrm{d}V.
  • A integral de 1/V é o logaritmo natural, logo
W = nRT \left[ \ln V \right]_{V_{i}}^{V_{f}} = nRT \ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right).
Essa é a fórmula padrão para trabalho em transformação isotérmica de gás ideal. Observação prática para prova: memorize W = nRT\ln\!\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right) e lembre que o logaritmo é natural ( \ln).

Passo 4

Avaliação dos termos numéricos (vamos calcular cada parte com atenção às unidades):
  • Primeiro calcule a razão dos volumes:
\frac{V_{f}}{V_{i}} = \frac{2,1}{1,2} = 1,75.
  • Agora o logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)=\ln(1,75)\approx 0,55961579.
  • Calcule nRT:
R=8,314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
nRT = 1,4 \times 8,314 \times 310.
Primeiro 8,314\times 310 = 2577,34\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}}. Em seguida
nRT = 1,4 \times 2577,34 = 3608,276\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Multiplicação final (juntando tudo):
W = nRT \ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right) = 3608,276 \times 0,55961579 \approx 2019{,}25\\ \mathrm{J}.
Interpretação física e convenção de sinais: como V_{f}>V_{i} temos \ln(V_{f}/V_{i})>0, então W>0. Isso significa que o gás realiza trabalho sobre o ambiente (o gás “faz trabalho” ao se expandir).

Resposta

W = 2,02\times 10^{3}\\ \mathrm{J}

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