[KAROLINE GONCALVES DE ALBUQUERQUE] Um gás com
sofre uma expansão isotérmica em
de um volume inicial
para um volume final
. Calcule o trabalho realizado
pelo gás.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o trabalho realizado pelo gás durante uma expansão isotérmica. Dados fornecidos:
A pergunta é: qual é o trabalho
realizado pelo gás (em Joules) ao expandir isotermicamente de
para
.
Passo 2
Conceitos essenciais e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Trabalho diferencial feito pelo gás quando o volume varia uma pequena quantidade
é
onde
é a pressão instantânea do gás. Isso vem da definição de trabalho em processos mecânicos: força vezes deslocamento; aqui a força por unidade de área é a pressão e o deslocamento corresponde à variação de volume.
- Para um gás ideal, a pressão e o volume estão relacionados pela equação de estado:
onde
-
é o número de mols (aqui ), -
é a constante universal dos gases, (explico: essa constante converte entre energia, quantidade de matéria e temperatura), -
é a temperatura absoluta em Kelvin (aqui ).
Em uma transformação isotérmica (temperatura constante),
é constante, então podemos substituir
em
pela forma
.
Passo 3
Substituição e integração (passo a passo da conta matemática):
- Substituindo
em obtemos
- Para obter o trabalho total quando o volume varia de
até , integramos:
- Como
, e são constantes no processo isotérmico, podemos tirá-los da integral:
- A integral de
é o logaritmo natural, logo
Essa é a fórmula padrão para trabalho em transformação isotérmica de gás ideal. Observação prática para prova: memorize
e lembre que o logaritmo é natural (
).
Passo 4
Avaliação dos termos numéricos (vamos calcular cada parte com atenção às unidades):
- Primeiro calcule a razão dos volumes:
- Agora o logaritmo natural:
- Calcule
:
Primeiro
. Em seguida
Passo 5
Multiplicação final (juntando tudo):
Interpretação física e convenção de sinais: como
temos
, então
. Isso significa que o gás realiza trabalho sobre o ambiente (o gás “faz trabalho” ao se expandir).