Uma espira circula de raio
, massa
conduzindo uma corrente
está no plano xy sobre uma superfície rugosa. Existe um campo magnético horizontal de magnitude
. Qual deve ser o valor mínimo de
tal que a borda da espira seja levantada?
Passo 1
O enunciado pede: qual o valor mínimo do campo magnético
(horizontal) necessário para que a borda da espira seja levantada?
Informações dadas:
- Raio da espira:
. - Massa da espira:
. - Corrente que percorre a espira:
. - A espira está no plano
apoiada numa superfície rugosa (ou seja, pode apoiar/pivote no bordo sem escorregar facilmente). - Existe um campo magnético horizontal de magnitude
. - Queremos o menor
que inicia o movimento de levantar uma borda (condição de equilíbrio limite entre momentos).
Passo 2
Entender a força/tarefa magnética sobre a espira: introduzindo o momento magnético (aula rápida).
- Uma espira circular com corrente
tem um momento magnético (dipolo) cuja magnitude é
onde
é a área da espira. Para uma circunferência de raio
,
Logo,
Explicação curta:
representa “quanto a espira tende a alinhar-se com o campo”; sua direção é normal ao plano da espira seguindo a regra da mão direita (dedo aponta no sentido da corrente, polegar aponta
).
Passo 3
Torque magnético atuando na espira.
- O torque (momento de forças) sobre um dipolo magnético em um campo uniforme é dado por
e sua magnitude é
onde
é o ângulo entre
e
.
- No problema a espira está no plano
, então é perpendicular a esse plano (junto ao eixo ), e o campo é horizontal (no plano ), portanto e . - Assim o módulo do torque magnético vale
Breve interpretação didática: esse torque tende a rodar a espira fazendo uma borda subir e a outra descer — é o “giro” imposto pelo campo magnético.
Passo 4
Torque resistivo devido ao peso (o que impede a borda de levantar).
- A espira tem peso
aplicado no seu centro de massa (o centro do círculo). Se a espira pivota pela borda (ponto de contato com a superfície), o braço de alavanca horizontal entre o centro e o pivô é . - O momento (torque) gravitacional em torno do pivô que tende a manter a espira apoiada é
Explicação: torque é
; aqui
é a distância perpendicular do pivô até a linha de ação do peso, e
.
Passo 5
Condição de equilíbrio limite para levantar a borda.
- No instante em que a borda começa a levantar, o torque magnético que tende a levantar iguala o torque gravitacional que tende a mantê-la no chão:
- Substituindo os valores:
- Simplificando (dividindo ambos os lados por
, assumindo ):
- Isolando
:
Comentário didático: note que não precisamos calcular forças distribuídas nem integrar — usamos a propriedade útil de que, em campo magnético uniforme, a resultante de forças é zero e o torque total pode ser tratado pelo momento magnético
. Também assumimos que a superfície é rugosa o suficiente para permitir pivotamento sem escorregamento.