Uma espira circula de raio R, massa m conduzindo uma corrente I está no plano xy sobre uma superfície rugosa. Existe um campo magnético horizontal de magnitude B. Qual deve ser o valor mínimo de B tal que a borda da espira seja levantada?

Passo 1

O enunciado pede: qual o valor mínimo do campo magnético B (horizontal) necessário para que a borda da espira seja levantada?
Informações dadas:
  • Raio da espira: R.
  • Massa da espira: m.
  • Corrente que percorre a espira: I.
  • A espira está no plano xy apoiada numa superfície rugosa (ou seja, pode apoiar/pivote no bordo sem escorregar facilmente).
  • Existe um campo magnético horizontal de magnitude B.
  • Queremos o menor B que inicia o movimento de levantar uma borda (condição de equilíbrio limite entre momentos).

Passo 2

Entender a força/tarefa magnética sobre a espira: introduzindo o momento magnético (aula rápida).
  • Uma espira circular com corrente I tem um momento magnético (dipolo) cuja magnitude é
\mu = I\cdot A,
onde A é a área da espira. Para uma circunferência de raio R,
A = \pi R^2.
Logo,
\mu = I\pi R^2.
Explicação curta: \mu representa “quanto a espira tende a alinhar-se com o campo”; sua direção é normal ao plano da espira seguindo a regra da mão direita (dedo aponta no sentido da corrente, polegar aponta \hat{n}).

Passo 3

Torque magnético atuando na espira.
  • O torque (momento de forças) sobre um dipolo magnético em um campo uniforme é dado por
\vec{\tau} = \vec{\mu}\times\vec{B},
e sua magnitude é
\tau = \mu B \sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{\mu} e \vec{B}.
  • No problema a espira está no plano xy, então \vec{\mu} é perpendicular a esse plano (junto ao eixo z), e o campo B é horizontal (no plano xy), portanto \theta = 90^\circ e \sin\theta = 1.
  • Assim o módulo do torque magnético vale
\tau_{\text{mag}} = \mu B = I\pi R^2 B.
Breve interpretação didática: esse torque tende a rodar a espira fazendo uma borda subir e a outra descer — é o “giro” imposto pelo campo magnético.

Passo 4

Torque resistivo devido ao peso (o que impede a borda de levantar).
  • A espira tem peso mg aplicado no seu centro de massa (o centro do círculo). Se a espira pivota pela borda (ponto de contato com a superfície), o braço de alavanca horizontal entre o centro e o pivô é R.
  • O momento (torque) gravitacional em torno do pivô que tende a manter a espira apoiada é
\tau_{\text{grav}} = mg \cdot R.
Explicação: torque é \vec{r}\times\vec{F}; aqui r=R é a distância perpendicular do pivô até a linha de ação do peso, e F=mg.

Passo 5

Condição de equilíbrio limite para levantar a borda.
  • No instante em que a borda começa a levantar, o torque magnético que tende a levantar iguala o torque gravitacional que tende a mantê-la no chão:
\tau_{\text{mag}} = \tau_{\text{grav}}.
  • Substituindo os valores:
I\pi R^2 B = mg\,R.
  • Simplificando (dividindo ambos os lados por R, assumindo R\neq 0):
I\pi R B = mg.
  • Isolando B:
B = \frac{mg}{I\pi R}.
Comentário didático: note que não precisamos calcular forças distribuídas nem integrar — usamos a propriedade útil de que, em campo magnético uniforme, a resultante de forças é zero e o torque total pode ser tratado pelo momento magnético \mu. Também assumimos que a superfície é rugosa o suficiente para permitir pivotamento sem escorregamento.

Resposta

B_{\min} = \frac{mg}{I\pi R}

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