(Halliday, Cap. 4, Problema 33) Um avião, mergulhando com velocidade constante em um ângulo de 53,0^{\circ} com a vertical, lança um projétil a uma altitude de 730 m . O projétil chega ao solo 5,00 \mathrm{~s} após o lançamento. (a) Qual é a velocidade do avião? (b) Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o percurso? Quais são as componentes (c) horizontal e (d) vertical da velocidade do projétil no momento em que ele chega ao solo?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já nos dá.
  • Perguntas do enunciado:
    (a) Qual é a velocidade do avião no momento do lançamento?
    (b) Qual é a distância horizontal percorrida pelo projétil até chegar ao solo?
    (c) Qual é a componente horizontal da velocidade do projétil ao atingir o solo?
    (d) Qual é a componente vertical da velocidade do projétil ao atingir o solo?
  • Dados fornecidos:
    • Ângulo entre a velocidade do avião e a vertical: \,53{,}0^\circ.
    • Altitude inicial do lançamento: \,730\\ \mathrm{m}.
    • Tempo de queda até o solo: \,5{,}00\\ \mathrm{s}.
    • Aceleração da gravidade (usada aqui): \,g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Pressuposição física usada (padrão para este tipo de exercício): o projétil é lançado com a mesma velocidade do avião no instante do lançamento e não há resistência do ar.

Passo 2

Escolha de eixos e decomposição da velocidade inicial — explicação didática.
  • Vou escolher o eixo vertical y apontando para cima (positivo para cima) e o eixo horizontal x apontando na direção do movimento horizontal do avião.
  • Denoto por \,V a velocidade escalar do avião (e do projétil no instante do lançamento). Essa velocidade forma um ângulo de \,53{,}0^\circ com a vertical, isto é, o vetor velocidade está inclinado em relação à vertical por esse ângulo.
  • Como queremos trabalhar em componentes, precisamos decompor \,V em:
    • componente horizontal \,V_x;
    • componente vertical \,V_y.
  • Geometria/trigonometria: se o ângulo com a vertical é \theta=53{,}0^\circ, então
    • a componente vertical (para baixo) tem magnitude \,V\cos\theta;
    • a componente horizontal tem magnitude \,V\sin\theta.
  • Como escolhemos o eixo y positivo para cima, a componente vertical inicial do projétil é v_{y0} = -V\cos(53{,}0^\circ),porque a velocidade vertical aponta para baixo.
  • A componente horizontal inicial (e que permanece constante se desprezarmos resistência do ar) é v_{x} = V\sin(53{,}0^\circ).
Explicação curta sobre as fórmulas: as razões trigo vêm da definição seno e cosseno num triângulo retângulo; aqui o cateto adjacente à vertical dá o cosseno e o cateto oposto dá o seno.

Passo 3

Equação do movimento vertical e cálculo de v_{y0}.
  • A equação do movimento vertical (cinemática com aceleração constante) que relaciona posição vertical com tempo é y(t) = y_0 + v_{y0}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2,onde:
    • \,y(t) é a altura no tempo t,
    • \,y_0 é a altura inicial ( 730\\ \mathrm{m}),
    • \,v_{y0} é a componente vertical inicial (positiva para cima),
    • \,g é a aceleração da gravidade ( 9{,}80\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Queremos o instante em que o projétil atinge o solo: isso significa \,y(t)=0 no tempo \,t=5{,}00\\ \mathrm{s}. Substituindo: 0 = 730 + v_{y0}\cdot 5{,}00 - \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}80 \cdot (5{,}00)^2.
  • Calcule o termo da aceleração: \tfrac{1}{2}\,g\,t^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 9{,}80\cdot 25 = 122{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Isolando v_{y0}: v_{y0}\cdot 5{,}00 = 122{,}5 - 730 = -607{,}5,
v_{y0} = \frac{-607{,}5}{5{,}00} = -121{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: a componente vertical inicial é -121{,}5\\ \mathrm{m/s}, ou seja, 121{,}5 m/s para baixo.

Passo 4

Determinar a velocidade do avião \,V a partir de v_{y0}.
  • Lembrando a relação vertical que escrevemos no Passo 2: v_{y0} = -V\cos(53{,}0^\circ).Tomando magnitudes: |v_{y0}| = V\cos(53{,}0^\circ).
  • Assim V = \frac{|v_{y0}|}{\cos(53{,}0^\circ)} = \frac{121{,}5}{\cos(53{,}0^\circ)}.
  • Usando \cos(53{,}0^\circ)\approx 0{,}601815, V \approx \frac{121{,}5}{0{,}601815}\approx 201{,}9\\ \mathrm{m/s}.
  • Aproximando com três algarismos significativos (compatível com os dados), podemos escrever \,V \approx 202\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo da distância horizontal percorrida (alcance horizontal).
  • A componente horizontal da velocidade é constante (desprezando resistência do ar): v_x = V\sin(53{,}0^\circ).
  • Substituindo V\approx 201{,}9\\ \mathrm{m/s} e \sin(53{,}0^\circ)\approx 0{,}798636, v_x \approx 201{,}9 \times 0{,}798636 \approx 161{,}25\\ \mathrm{m/s}.
  • A distância horizontal percorrida em tempo t=5{,}00\\ \mathrm{s} é \Delta x = v_x\cdot t \approx 161{,}25 \times 5{,}00 \approx 806{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Com três algarismos significativos: \Delta x \approx 806\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Componente horizontal da velocidade ao atingir o solo (resposta da parte c).
  • Como não há aceleração horizontal (desprezando arrasto), a componente horizontal no impacto é igual à inicial: v_x \approx 161{,}25\\ \mathrm{m/s}.
  • Em três algarismos significativos: \,v_x \approx 161\\ \mathrm{m/s} (no sentido horizontal do movimento).

Passo 7

Componente vertical da velocidade ao atingir o solo (resposta da parte d).
  • A equação da velocidade vertical com tempo é v_y(t) = v_{y0} - g t.
  • Substituindo v_{y0}=-121{,}5\\ \mathrm{m/s} e t=5{,}00\\ \mathrm{s}: v_y(5{,}00) = -121{,}5 - 9{,}80\times 5{,}00 = -121{,}5 - 49{,}0 = -170{,}5\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: isso significa 170{,}5\\ \mathrm{m/s} para baixo. Com três algarismos significativos: -171\\ \mathrm{m/s} (para baixo).

Resposta

(a) 202\\ \mathrm{m/s}
(b) 806\\ \mathrm{m}
(c) 161\\ \mathrm{m/s} (horizontal)
(d) -171\\ \mathrm{m/s} (vertical, negativo indicando direção para baixo)

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