(Halliday, Cap. 4, Problema 33) Um avião, mergulhando com velocidade constante em um ângulo de
com a vertical, lança um projétil a uma altitude de 730 m . O projétil chega ao solo
após o lançamento. (a) Qual é a velocidade do avião? (b) Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o percurso? Quais são as componentes (c) horizontal e (d) vertical da velocidade do projétil no momento em que ele chega ao solo?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já nos dá.
-
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é a velocidade do avião no momento do lançamento?
(b) Qual é a distância horizontal percorrida pelo projétil até chegar ao solo?
(c) Qual é a componente horizontal da velocidade do projétil ao atingir o solo?
(d) Qual é a componente vertical da velocidade do projétil ao atingir o solo? -
Dados fornecidos:
- Ângulo entre a velocidade do avião e a vertical:
. - Altitude inicial do lançamento:
. - Tempo de queda até o solo:
. - Aceleração da gravidade (usada aqui):
. - Pressuposição física usada (padrão para este tipo de exercício): o projétil é lançado com a mesma velocidade do avião no instante do lançamento e não há resistência do ar.
- Ângulo entre a velocidade do avião e a vertical:
Passo 2
Escolha de eixos e decomposição da velocidade inicial — explicação didática.
- Vou escolher o eixo vertical
apontando para cima (positivo para cima) e o eixo horizontal apontando na direção do movimento horizontal do avião. - Denoto por
a velocidade escalar do avião (e do projétil no instante do lançamento). Essa velocidade forma um ângulo de com a vertical, isto é, o vetor velocidade está inclinado em relação à vertical por esse ângulo. - Como queremos trabalhar em componentes, precisamos decompor
em: - componente horizontal
; - componente vertical
.
- componente horizontal
- Geometria/trigonometria: se o ângulo com a vertical é
, então - a componente vertical (para baixo) tem magnitude
; - a componente horizontal tem magnitude
.
- a componente vertical (para baixo) tem magnitude
- Como escolhemos o eixo
positivo para cima, a componente vertical inicial do projétil é porque a velocidade vertical aponta para baixo. - A componente horizontal inicial (e que permanece constante se desprezarmos resistência do ar) é
Explicação curta sobre as fórmulas: as razões trigo vêm da definição seno e cosseno num triângulo retângulo; aqui o cateto adjacente à vertical dá o cosseno e o cateto oposto dá o seno.
Passo 3
Equação do movimento vertical e cálculo de
.
- A equação do movimento vertical (cinemática com aceleração constante) que relaciona posição vertical com tempo é
onde: -
é a altura no tempo , -
é a altura inicial ( ), -
é a componente vertical inicial (positiva para cima), -
é a aceleração da gravidade ( ).
-
- Queremos o instante em que o projétil atinge o solo: isso significa
no tempo . Substituindo: - Calcule o termo da aceleração:
- Isolando
:
- Interpretação: a componente vertical inicial é
, ou seja, 121{,}5 m/s para baixo.
Passo 4
Determinar a velocidade do avião
a partir de
.
- Lembrando a relação vertical que escrevemos no Passo 2:
Tomando magnitudes: - Assim
- Usando
, - Aproximando com três algarismos significativos (compatível com os dados), podemos escrever
Passo 5
Cálculo da distância horizontal percorrida (alcance horizontal).
- A componente horizontal da velocidade é constante (desprezando resistência do ar):
- Substituindo
e , - A distância horizontal percorrida em tempo
é - Com três algarismos significativos:
Passo 6
Componente horizontal da velocidade ao atingir o solo (resposta da parte c).
- Como não há aceleração horizontal (desprezando arrasto), a componente horizontal no impacto é igual à inicial:
- Em três algarismos significativos:
(no sentido horizontal do movimento).
Passo 7
Componente vertical da velocidade ao atingir o solo (resposta da parte d).
- A equação da velocidade vertical com tempo é
- Substituindo
e : - Interpretação: isso significa
para baixo. Com três algarismos significativos: (para baixo).
Resposta
(a)
(b)
(c) (horizontal)
(d) (vertical, negativo indicando direção para baixo)
(b)
(c)
(d)