(Tipler, Cap. 3, Problema 77) Uma bola lançada do nível do chão volta ao chão, no mesmo nível, 2,44 \mathrm{~s} após, a uma distância de 40,0 \mathrm{~m} do ponto de lançamento. Encontre a magnitude do vetor velocidade inicial e o ângulo que ele forma acima da horizontal. (Ignore a resistência do ar.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações fornecidas:
    • A bola volta ao mesmo nível de lançamento (altura final igual à inicial).
    • O tempo total de voo é T=2,44\\ \mathrm{s}.
    • O alcance horizontal (distância entre o ponto de lançamento e o ponto de queda) é R=40,0\\ \mathrm{m}.
    • Ignorar resistência do ar.
    • Usar a aceleração da gravidade g=9,80\\ \mathrm{m\,s^{-2}} (valor padrão).
  • Perguntas do enunciado:
    1. Qual a magnitude da velocidade inicial \,v_0?
    2. Qual o ângulo \theta que a velocidade inicial forma acima da horizontal?

Passo 2

Vamos entender a física e as fórmulas básicas que usamos (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Decomposição da velocidade inicial:
    • A velocidade inicial tem magnitude v_0 e forma um ângulo \theta acima da horizontal.
    • Componente horizontal: v_{0x}=v_0\cos\theta.
    • Componente vertical: v_{0y}=v_0\sin\theta.
  • Movimento horizontal:
    • Sem resistência do ar, não há aceleração horizontal (aceleração horizontal =0).
    • A posição horizontal aumenta linearmente: x(t)=v_{0x}\,t.
    • Assim, o alcance R após o tempo total de voo T é R = v_{0x}\,T = v_0\cos\theta\;T.
  • Movimento vertical:
    • A aceleração vertical é -g (para baixo).
    • A posição vertical segue a equação da cinemática: y(t)=v_{0y}\,t - \frac{1}{2}g t^{2} = v_0\sin\theta\;t - \frac{1}{2}g t^{2}.
    • Como a bola retorna ao mesmo nível de lançamento, y(T)=0 para o tempo de voo T>0. As raízes dessa equação são t=0 (início) e T = \frac{2 v_0\sin\theta}{g}.Esta fórmula é muito útil para projéteis que começam e terminam no mesmo nível.
Resumo: temos duas relações úteis que conectam v_0 e \theta aos dados R e T:
v_0\sin\theta = \frac{gT}{2}, \qquad v_0\cos\theta = \frac{R}{T}.

Passo 3

Calcular a componente vertical v_0\sin\theta usando o tempo de voo.
  • Usamos \displaystyle v_0\sin\theta = \frac{gT}{2}.
  • Substituindo os números (todos em ambiente matemático): v_0\sin\theta = \frac{9,80\cdot 2,44}{2}.
  • Fazer a conta passo a passo: 9,80\cdot 2,44 = 23,912,
\frac{23,912}{2} = 11,956.
  • Portanto v_0\sin\theta = 11,956\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
(Guarda esse número — é a componente vertical da velocidade inicial.)

Passo 4

Calcular a componente horizontal v_0\cos\theta usando o alcance.
  • Usamos \displaystyle v_0\cos\theta = \frac{R}{T}.
  • Substituindo os valores: v_0\cos\theta = \frac{40,0}{2,44}.
  • Divisão passo a passo: \frac{40,0}{2,44} \approx 16,3934426\ldots
  • Arredondando um pouco (vamos manter algumas casas para precisão intermediária): v_0\cos\theta \approx 16,393\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
(Temos agora as duas componentes do vetor velocidade inicial.)

Passo 5

Determinar a magnitude v_0 a partir das componentes horizontais e verticais.
  • A relação para o módulo de um vetor com componentes é v_0 = \sqrt{(v_0\cos\theta)^2 + (v_0\sin\theta)^2}.
  • Substituindo os valores que calculamos: v_0 = \sqrt{(16,393)^{2} + (11,956)^{2}}.
  • Calcular os quadrados (passo a passo): (16,393)^{2} \approx 268,693,
(11,956)^{2} \approx 142,946.
  • Somando: 268,693 + 142,946 = 411,639.
  • Raiz quadrada: v_0 = \sqrt{411,639} \approx 20,291\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Arredondando de acordo com os dados (três algarismos relevantes), ficamos com v_0 \approx 20,3\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 6

Determinar o ângulo \theta usando a razão entre componentes (função arco-tangente).
  • Por definição, \tan\theta = \frac{v_0\sin\theta}{v_0\cos\theta}.
  • Substituindo os valores conhecidos: \tan\theta = \frac{11,956}{16,393} \approx 0,729395.
  • Aplicando a função inversa (arco-tangente) e convertendo para graus: \theta = \arctan(0,729395) \approx 36,224^\circ.
  • Arredondando de forma consistente: \theta \approx 36,2^\circ.
Breve comentário didático: usar a razão vertical/horizontal para obter \theta é natural porque o arco-tangente relaciona a inclinação do vetor com suas componentes. Outra alternativa seria usar a fórmula do alcance R=\dfrac{v_0^{2}\sin 2\theta}{g} e resolver para \theta, mas isso exigiria primeiro v_0 ou um pouco mais de álgebra; o método por componentes é direto e usa diretamente os dois dados T e R.

Passo 7

Cheque rápido (opcional, só para dar segurança):
  • Usando v_0\approx 20,291\\ \mathrm{m\,s^{-1}} e \theta\approx36,224^\circ,
    calcular o alcance pela fórmula R = v_0^{2}\dfrac{\sin(2\theta)}{g} deve aproximar 40,0\\ \mathrm{m}. (Este é um checagem rápida; não é necessária para a resposta, mas ajuda a confirmar.)

Resposta

v_0 \approx 20,3\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\theta \approx 36,2^\circ

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