(Tipler, Cap. 3, Problema 77) Uma bola lançada do nível do chão volta ao chão, no mesmo nível,
após, a uma distância de
do ponto de lançamento. Encontre a magnitude do vetor velocidade inicial e o ângulo que ele forma acima da horizontal. (Ignore a resistência do ar.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
-
Informações fornecidas:
- A bola volta ao mesmo nível de lançamento (altura final igual à inicial).
- O tempo total de voo é
. - O alcance horizontal (distância entre o ponto de lançamento e o ponto de queda) é
. - Ignorar resistência do ar.
- Usar a aceleração da gravidade
(valor padrão).
-
Perguntas do enunciado:
- Qual a magnitude da velocidade inicial
? - Qual o ângulo
que a velocidade inicial forma acima da horizontal?
- Qual a magnitude da velocidade inicial
Passo 2
Vamos entender a física e as fórmulas básicas que usamos (passo-a-passo, sem pular etapas).
-
Decomposição da velocidade inicial:
- A velocidade inicial tem magnitude
e forma um ângulo acima da horizontal. - Componente horizontal:
. - Componente vertical:
.
- A velocidade inicial tem magnitude
-
Movimento horizontal:
- Sem resistência do ar, não há aceleração horizontal (aceleração horizontal
). - A posição horizontal aumenta linearmente:
. - Assim, o alcance
após o tempo total de voo é
- Sem resistência do ar, não há aceleração horizontal (aceleração horizontal
-
Movimento vertical:
- A aceleração vertical é
(para baixo). - A posição vertical segue a equação da cinemática:
- Como a bola retorna ao mesmo nível de lançamento,
para o tempo de voo . As raízes dessa equação são (início) e Esta fórmula é muito útil para projéteis que começam e terminam no mesmo nível.
- A aceleração vertical é
Resumo: temos duas relações úteis que conectam
e
aos dados
e
:
Passo 3
Calcular a componente vertical
usando o tempo de voo.
- Usamos
. - Substituindo os números (todos em ambiente matemático):
- Fazer a conta passo a passo:
- Portanto
(Guarda esse número — é a componente vertical da velocidade inicial.)
Passo 4
Calcular a componente horizontal
usando o alcance.
- Usamos
. - Substituindo os valores:
- Divisão passo a passo:
- Arredondando um pouco (vamos manter algumas casas para precisão intermediária):
(Temos agora as duas componentes do vetor velocidade inicial.)
Passo 5
Determinar a magnitude
a partir das componentes horizontais e verticais.
- A relação para o módulo de um vetor com componentes é
- Substituindo os valores que calculamos:
- Calcular os quadrados (passo a passo):
- Somando:
- Raiz quadrada:
- Arredondando de acordo com os dados (três algarismos relevantes), ficamos com
Passo 6
Determinar o ângulo
usando a razão entre componentes (função arco-tangente).
- Por definição,
- Substituindo os valores conhecidos:
- Aplicando a função inversa (arco-tangente) e convertendo para graus:
- Arredondando de forma consistente:
Breve comentário didático: usar a razão vertical/horizontal para obter
é natural porque o arco-tangente relaciona a inclinação do vetor com suas componentes. Outra alternativa seria usar a fórmula do alcance
e resolver para
, mas isso exigiria primeiro
ou um pouco mais de álgebra; o método por componentes é direto e usa diretamente os dois dados
e
.
Passo 7
Cheque rápido (opcional, só para dar segurança):
- Usando
e ,
calcular o alcance pela fórmuladeve aproximar . (Este é um checagem rápida; não é necessária para a resposta, mas ajuda a confirmar.)