A Hamburgueria Soul Gourmet serve somente três tipos de hambúrguer, o clássico, o duplo e o especial do mês ao preço fixo de R$15, R$ 24 e R$27. Para um casal selecionado aleatoriamente que janta nessa hamburgueria, sejam custo do hambúrguer do homem e custo do hambúrguer da mulher.
A PMF conjunta de X e Y é dada na tabela a seguir:
0.09 0.14 0.04
0.13 0.2 0.07
0.11 0.17 0.05
a. Qual é a probabilidade de o hambúrguer do homem e da mulher custar no máximo R$24 cada? (utilizar 2 digitos ex: 0.00)
b. O custo de hambúrguer do homem e o custo do hambúrguer da mulher são independentes?
c. Qual é o custo total esperado do jantar para as duas pessoas? (utilizar 2 dígitos ex: 0.00)
d. O gerente da hamburgueria informa ao casal de que eles foram premiados com uma oferta do dia.
Oferta do dia: o casal que ganhar essa oferta irá receber de volta a diferença entre o custo do hambúrguer mais caro e o do mais barato que eles escolheram.
Quanto a hamburgueria espera devolver? (utilizar 2 digitos ex: 0.00)

Passo 1

O enunciado apresenta as variáveis aleatórias discretas X e Y, que valem 15, 24 ou 27 reais, com pmf conjunta dada por
&y=15&y=24&y=27 x=15&0.09&0.14&0.04 x=24&0.13&0.20&0.07 x=27&0.11&0.17&0.05
Precisamos calcular
(a) P(X<=24,Y<=24),
(b) verificar se X e Y são independentes,
(c) o valor esperado de X+Y,
(d) o valor esperado da diferença entre o maior e o menor valor, isto é max(X,Y)-min(X,Y).

Passo 2

Para (a), somamos as probabilidades em que X<=24 e Y<=24, ou seja, nos pares (15,15),(15,24),(24,15),(24,24):
P(X<=24,Y<=24) =0.09+0.14+0.13+0.20 =0.56

Passo 3

Para (b), calculamos as marginais:
,pX(15)=0.09+0.14+0.04=0.27,
pX(24)=0.13+0.20+0.07=0.40,
pX(27)=0.11+0.17+0.05=0.33;
,pY(15)=0.09+0.13+0.11=0.33,
pY(24)=0.14+0.20+0.17=0.51,
pY(27)=0.04+0.07+0.05=0.16.
Se fossem independentes, teríamos por exemplo
p(24,27)=pX(24),pY(27) =0.40times0.16 =0.064neq0.07,
portanto X e Y não são independentes.

Passo 4

Para (c), usamos E[X+Y]=E[X]+E[Y]. Com as marginais:
E[X]=15cdot0.27+24cdot0.40+27cdot0.33=22.56,
E[Y]=15cdot0.33+24cdot0.51+27cdot0.16=21.51,
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E[X+Y]=22.56+21.51=44.07

Passo 5

Para (d), o valor devolvido é |X-Y|. Assim
E[|X-Y|]=sumx,y|x-y|,p(x,y)
Agrupando pelos valores de |x-y|:
E[|X-Y|] =9,(0.14+0.13)+12,(0.04+0.11)+3,(0.07+0.17) =9cdot0.27+12cdot0.15+3cdot0.24 =2.43+1.80+0.72=4.95

Resposta

a) 0.56
b) Não
c) 44.07
d) 4.95

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