(2 pontos) Em alguma base ortonormal um operador
. Encontre a matriz, representando
e ache seus autovetores (normalizados) e autovalores. Este espaço de vetores é bidimensional.
Passo 1
O enunciado dá o operador
em alguma base ortonormal
. O espaço é bidimensional. As perguntas são:
- Encontrar a matriz de
representada nessa base ortonormal. - Achar os autovalores de
. - Achar os autovetores de
normalizados.
Informações relevantes dadas:
- A base
é ortonormal, ou seja . - O operador
está escrito como soma de produtos externos (outer products) entre esses vetores.
Passo 2
Como encontrar a matriz de
nessa base ortonormal: em uma base ortonormal, a coluna
da matriz de
é o vetor coordenadas de
expresso na mesma base. Ou seja, aplicar
a cada vetor da base e escrever o resultado como combinação linear de
e
.
Vou calcular
e
usando a forma do operador e a ortonormalidade.
Passo 3
Calcular
.
Usar linearidade e as propriedades dos produtos externos:
Pela ortonormalidade
e
. Assim
Portanto, a primeira coluna da matriz (coordenadas de
) é
onde a primeira linha é a componente na direção
e a segunda na direção
.]
Passo 4
Calcular
.
De modo análogo,
Pela ortonormalidade
e
. Assim
A segunda coluna da matriz é
Passo 5
Montar a matriz de
na base
:
Agora vamos achar os autovalores e autovetores dessa matriz
.]
Passo 6
Autovalores: resolver
.
Calcular o determinante:
Simplificando:
Portanto o polinômio característico é
. Resolver
Usando fórmula quadrática (ou fatorando):
Assim os autovalores são
Passo 7
Autovetor associado a
: resolver
.
Escrevendo o sistema:
Da primeira equação
, logo
. Escolhendo
obtemos um autovetor não nulo
Normalizar: norma
. O autovetor normalizado é
Passo 8
Autovetor associado a
: resolver
.
Escrevendo o sistema:
Da primeira equação
, logo
. Escolhendo
obtemos
Normalizar: norma
. O autovetor normalizado é
Passo 9
Resumo final dos autovalores e autovetores normalizados (cheque mental rápido: aplicar
a cada autovetor normalizado deve devolver
vezes o autovetor; isso confere com os cálculos acima).