(2 pontos) Em alguma base ortonormal um operador T=\left|\Phi_{1}\right\rangle\left\langle\Phi_{1}\right|+2\left|\Phi_{1}\right\rangle\left\langle\Phi_{2}\right|+\left|\Phi_{2}\right\rangle\left\langle\Phi_{1}\right|. Encontre a matriz, representando T e ache seus autovetores (normalizados) e autovalores. Este espaço de vetores é bidimensional.

Passo 1

O enunciado dá o operador
T = \left|\Phi_{1}\right\rangle\left\langle\Phi_{1}\right| + 2\left|\Phi_{1}\right\rangle\left\langle\Phi_{2}\right| + \left|\Phi_{2}\right\rangle\left\langle\Phi_{1}\right|
em alguma base ortonormal \{\left|\Phi_{1}\right\rangle,\left|\Phi_{2}\right\rangle\}. O espaço é bidimensional. As perguntas são:
  • Encontrar a matriz de T representada nessa base ortonormal.
  • Achar os autovalores de T.
  • Achar os autovetores de T normalizados.
Informações relevantes dadas:
  • A base \{\left|\Phi_{1}\right\rangle,\left|\Phi_{2}\right\rangle\} é ortonormal, ou seja \langle\Phi_i|\Phi_j\rangle=\delta_{ij}.
  • O operador T está escrito como soma de produtos externos (outer products) entre esses vetores.

Passo 2

Como encontrar a matriz de T nessa base ortonormal: em uma base ortonormal, a coluna j da matriz de T é o vetor coordenadas de T\left|\Phi_{j}\right\rangle expresso na mesma base. Ou seja, aplicar T a cada vetor da base e escrever o resultado como combinação linear de \left|\Phi_{1}\right\rangle e \left|\Phi_{2}\right\rangle.
Vou calcular T\left|\Phi_{1}\right\rangle e T\left|\Phi_{2}\right\rangle usando a forma do operador e a ortonormalidade.

Passo 3

Calcular T\left|\Phi_{1}\right\rangle.
Usar linearidade e as propriedades dos produtos externos:
T\left|\Phi_{1}\right\rangle = \left|\Phi_{1}\right\rangle\langle\Phi_{1}|\Phi_{1}\rangle + 2\left|\Phi_{1}\right\rangle\langle\Phi_{2}|\Phi_{1}\rangle + \left|\Phi_{2}\right\rangle\langle\Phi_{1}|\Phi_{1}\rangle.
Pela ortonormalidade \langle\Phi_{1}|\Phi_{1}\rangle=1 e \langle\Phi_{2}|\Phi_{1}\rangle=0. Assim
T\left|\Phi_{1}\right\rangle = 1\cdot\left|\Phi_{1}\right\rangle + 0\cdot\left|\Phi_{1}\right\rangle + 1\cdot\left|\Phi_{2}\right\rangle = \left|\Phi_{1}\right\rangle + \left|\Phi_{2}\right\rangle.
Portanto, a primeira coluna da matriz (coordenadas de T\left|\Phi_{1}\right\rangle) é
\begin{pmatrix}1 \\[4pt] 1\end{pmatrix},
onde a primeira linha é a componente na direção \left|\Phi_{1}\right\rangle e a segunda na direção \left|\Phi_{2}\right\rangle.]

Passo 4

Calcular T\left|\Phi_{2}\right\rangle.
De modo análogo,
T\left|\Phi_{2}\right\rangle = \left|\Phi_{1}\right\rangle\langle\Phi_{1}|\Phi_{2}\rangle + 2\left|\Phi_{1}\right\rangle\langle\Phi_{2}|\Phi_{2}\rangle + \left|\Phi_{2}\right\rangle\langle\Phi_{1}|\Phi_{2}\rangle.
Pela ortonormalidade \langle\Phi_{1}|\Phi_{2}\rangle=0 e \langle\Phi_{2}|\Phi_{2}\rangle=1. Assim
T\left|\Phi_{2}\right\rangle = 0\cdot\left|\Phi_{1}\right\rangle + 2\cdot\left|\Phi_{1}\right\rangle + 0\cdot\left|\Phi_{2}\right\rangle = 2\left|\Phi_{1}\right\rangle.
A segunda coluna da matriz é
\begin{pmatrix}2 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montar a matriz de T na base \{\left|\Phi_{1}\right\rangle,\left|\Phi_{2}\right\rangle\}:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora vamos achar os autovalores e autovetores dessa matriz A.]

Passo 6

Autovalores: resolver \det(A-\lambda I)=0.
Calcular o determinante:
\det\!\big(A-\lambda I\big) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2 \\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)(-\lambda) - 2\cdot 1.
Simplificando:
(1-\lambda)(-\lambda)-2 = -\lambda + \lambda^{2} -2 = \lambda^{2}-\lambda-2.
Portanto o polinômio característico é \lambda^{2}-\lambda-2. Resolver
\lambda^{2}-\lambda-2=0.
Usando fórmula quadrática (ou fatorando):
\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}.
Assim os autovalores são
\lambda_{1}=2,\qquad \lambda_{2}=-1.]

Passo 7

Autovetor associado a \lambda_{1}=2: resolver (A-2I)v=0.
Escrevendo o sistema:
\begin{pmatrix}1-2 & 2 \\[4pt] 1 & 0-2\end{pmatrix} v = \begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt] v_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação -v_{1}+2v_{2}=0, logo v_{1}=2v_{2}. Escolhendo v_{2}=1 obtemos um autovetor não nulo
v^{(1)}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Normalizar: norma \|v^{(1)}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}. O autovetor normalizado é
\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/\sqrt{5}\\[4pt]1/\sqrt{5}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Autovetor associado a \lambda_{2}=-1: resolver (A+I)w=0.
Escrevendo o sistema:
\begin{pmatrix}1+1 & 2 \\[4pt] 1 & 0+1\end{pmatrix} w = \begin{pmatrix}2 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_{1}\\[4pt] w_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira equação 2w_{1}+2w_{2}=0, logo w_{1}=-w_{2}. Escolhendo w_{2}=1 obtemos
w^{(2)}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Normalizar: norma \|w^{(2)}\|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. O autovetor normalizado é
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2}\\[4pt]1/\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resumo final dos autovalores e autovetores normalizados (cheque mental rápido: aplicar A a cada autovetor normalizado deve devolver \lambda vezes o autovetor; isso confere com os cálculos acima).

Resposta

\text{Matriz de }T=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
\text{Autovalores: }\lambda_{1}=2,\quad \lambda_{2}=-1
\text{Autovetor unitário para }\lambda_{1}=2:\quad \begin{pmatrix}2/\sqrt{5}\\[4pt]1/\sqrt{5}\end{pmatrix}á
\text{Autovetor unitário para }\lambda_{2}=-1:\quad \begin{pmatrix}-1/\sqrt{2}\\[4pt]1/\sqrt{2}\end{pmatrix}á]

Exercícios relacionados