Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
O polinômio característico de uma matriz quadrada M de ordem n é
p_M(\lambda)=\det(M-\lambda I),
onde I é a matriz identidade de mesma ordem e \lambda é a variável do polinômio. Os autovalores são as soluções de p_M(\lambda)=0.
Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
temos
\det(M-\lambda I)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Aqui a,b,c,d são as entradas da matriz; \lambda aparece subtraído na diagonal porque subtraímos \lambda I.
Para resolver uma equação quadrática \lambda^2 + p\lambda + q=0 usa-se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)
\lambda=\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}.
Para uma matriz 3\times3 pode-se calcular \det(M-\lambda I) por expansão de Laplace (por linha ou por coluna). Quando houver zeros numa coluna (ou linha) é prático expandir por essa coluna, porque muitos termos desaparecem.
Agora aplicamos essas ideias às matrizes dadas, passo a passo.]
Passo 3
Matriz A. Calcular p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Conferência rápida (intuição): \operatorname{tr}(A)=5+10=15=\lambda_1+\lambda_2 e \det(A)=5\cdot10-3\cdot2=50-6=44=\lambda_1\lambda_2, consistente com 11+4=15 e 11\cdot4=44.]
Passo 4
Matriz B. Calcular p_B(\lambda)=\det(B-\lambda I).
Checagem rápida: \operatorname{tr}(B)=7i+(-6i)=i, soma das raízes \frac{i(1+\sqrt{177})}{2}+\frac{i(1-\sqrt{177})}{2}=i, e produto das raízes é 44, consistente com o termo constante do polinômio.]
Passo 5
Matriz C. Calcular p_C(\lambda)=\det(C-\lambda I).
Note que a segunda coluna tem zeros na linha 1 e 3; é conveniente expandir o determinante por essa coluna (expansão de Laplace). A expansão por coluna 2 dá apenas um termo (o da linha 2):