(2 pontos) Encontre o polinômio característico e os autovalores para cada uma das seguintes matrizes:
\begin{aligned} A & =\left(\begin{array}{cc} 5 & 3 \\\\ 2 & 10 \end{array}\right) \\\ B & =\left(\begin{array}{cc} 7 i & -1 \\\\ 2 & -6 i \end{array}\right) \\\ C & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 0 & 4 \end{array}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede, para cada uma das três matrizes A, B e C:
  • encontrar o polinômio característico (isto é, p(\lambda)=\det(\text{matriz}-\lambda I));
  • encontrar os autovalores (raízes desse polinômio).
As matrizes fornecidas são:
A=\begin{pmatrix}5 & 3\\[4pt]2 & 10\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}7i & -1\\[4pt]2 & -6i\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1\\[4pt]0 & 3 & 1\\[4pt]1 & 0 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • O polinômio característico de uma matriz quadrada M de ordem n é
p_M(\lambda)=\det(M-\lambda I),
onde I é a matriz identidade de mesma ordem e \lambda é a variável do polinômio. Os autovalores são as soluções de p_M(\lambda)=0.
  • Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
temos
\det(M-\lambda I)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Aqui a,b,c,d são as entradas da matriz; \lambda aparece subtraído na diagonal porque subtraímos \lambda I.
  • Para resolver uma equação quadrática \lambda^2 + p\lambda + q=0 usa-se a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)
\lambda=\frac{-p\pm\sqrt{p^{2}-4q}}{2}.
  • Para uma matriz 3\times3 pode-se calcular \det(M-\lambda I) por expansão de Laplace (por linha ou por coluna). Quando houver zeros numa coluna (ou linha) é prático expandir por essa coluna, porque muitos termos desaparecem.
Agora aplicamos essas ideias às matrizes dadas, passo a passo.]

Passo 3

Matriz A. Calcular p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & 3\\[4pt]2 & 10-\lambda\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula do determinante 2\times2:
p_A(\lambda)=(5-\lambda)(10-\lambda)-3\cdot2.
Vamos expandir com calma:
(5-\lambda)(10-\lambda)=50-5\lambda-10\lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}-15\lambda+50.
Subtraindo 3\cdot2=6:
p_A(\lambda)=\lambda^{2}-15\lambda+50-6=\lambda^{2}-15\lambda+44.
Agora as raízes dessa quadrática. Calculo o discriminante:
\Delta = (-15)^{2}-4\cdot1\cdot44=225-176=49.
Como \sqrt{\Delta}=7, pelas fórmulas:
\lambda=\frac{15\pm7}{2}.
Portanto
\lambda_1=\frac{15+7}{2}=\frac{22}{2}=11,\qquad \lambda_2=\frac{15-7}{2}=\frac{8}{2}=4.
Conferência rápida (intuição): \operatorname{tr}(A)=5+10=15=\lambda_1+\lambda_2 e \det(A)=5\cdot10-3\cdot2=50-6=44=\lambda_1\lambda_2, consistente com 11+4=15 e 11\cdot4=44.]

Passo 4

Matriz B. Calcular p_B(\lambda)=\det(B-\lambda I).
Escrevo B-\lambda I:
B-\lambda I=\begin{pmatrix}7i-\lambda & -1\\[4pt]2 & -6i-\lambda\end{pmatrix}.
Determinante:
p_B(\lambda)=(7i-\lambda)(-6i-\lambda)-(-1)\cdot 2.
Cálculo com cuidado (lembre que i^2=-1):
(7i-\lambda)(-6i-\lambda)=7i(-6i)+7i(-\lambda)+(-\lambda)(-6i)+(-\lambda)(-\lambda).
Cada termo:
7i(-6i)=-42i^{2}=-42(-1)=42,
7i(-\lambda)=-7i\lambda,
(-\lambda)(-6i)=6i\lambda,
(-\lambda)(-\lambda)=\lambda^{2}.
Somando:
(7i-\lambda)(-6i-\lambda)=\lambda^{2}+(-7i\lambda+6i\lambda)+42=\lambda^{2}-i\lambda+42.
Agora acrescente o +2 (porque -(-1)\cdot2=+2):
p_B(\lambda)=\lambda^{2}-i\lambda+42+2=\lambda^{2}-i\lambda+44.
Temos uma quadrática com coeficiente linear complexo. Use a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = (-i)^{2}-4\cdot1\cdot44.
Calcule (-i)^2: como (-i)^2 = i^2 = -1. Então
\Delta = -1-176=-177=-177.
A raiz quadrada de \Delta é \sqrt{-177}=i\sqrt{177}. Aplicando Bhaskara:
\lambda=\frac{i\pm\sqrt{-177}}{2}=\frac{i\pm i\sqrt{177}}{2}= \frac{i(1\pm\sqrt{177})}{2}.
Assim os autovalores são
\lambda=\frac{i}{2}\bigl(1+\sqrt{177}\bigr)\qquad\text{e}\qquad \lambda=\frac{i}{2}\bigl(1-\sqrt{177}\bigr).
Checagem rápida: \operatorname{tr}(B)=7i+(-6i)=i, soma das raízes \frac{i(1+\sqrt{177})}{2}+\frac{i(1-\sqrt{177})}{2}=i, e produto das raízes é 44, consistente com o termo constante do polinômio.]

Passo 5

Matriz C. Calcular p_C(\lambda)=\det(C-\lambda I).
Escrevo C-\lambda I:
C-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & 0 & -1\\[4pt]0 & 3-\lambda & 1\\[4pt]1 & 0 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
Note que a segunda coluna tem zeros na linha 1 e 3; é conveniente expandir o determinante por essa coluna (expansão de Laplace). A expansão por coluna 2 dá apenas um termo (o da linha 2):
p_C(\lambda)=(3-\lambda)\cdot(-1)^{2+2}\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]1 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
O sinal (-1)^{2+2}=+1. Agora o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]1 & 4-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(4-\lambda)-(-1)\cdot1.
Calcule:
(2-\lambda)(4-\lambda)=8-2\lambda-4\lambda+\lambda^{2}=\lambda^{2}-6\lambda+8,
e somando +1 (do -(-1)\cdot1):
\lambda^{2}-6\lambda+8+1=\lambda^{2}-6\lambda+9.
Logo
p_C(\lambda)=(3-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-6\lambda+9\bigr).
Observe que \lambda^{2}-6\lambda+9=(\lambda-3)^{2}. E 3-\lambda=-(\lambda-3). Portanto
p_C(\lambda)=(3-\lambda)(\lambda-3)^{2}=-(\lambda-3)^{3}.
Assim o polinômio característico tem fator (\lambda-3) de multiplicidade 3. O único autovalor é \lambda=3, com multiplicidade algébrica 3.]

Passo 6

Resumo rápido do método que serve para a prova:
  • Para 2\times2: aplique diretamente (a-\lambda)(d-\lambda)-bc e resolva a quadrática com Bhaskara.
  • Para 3\times3: procure uma linha ou coluna com zeros e use expansão de Laplace; fatorize o polinômio quando possível para ler multiplicidades.
  • Verifique soma e produto dos autovalores comparando com traço e determinante (são bons checagens rápidas).

Resposta

p_A(\lambda)=\lambda^{2}-15\lambda+44,\qquad autovalores: \lambda=11,\\ \lambda=4.
p_B(\lambda)=\lambda^{2}-i\lambda+44,\qquad autovalores: \displaystyle \lambda=\frac{i}{2}\bigl(1+\sqrt{177}\bigr),\\ \lambda=\frac{i}{2}\bigl(1-\sqrt{177}\bigr).
p_C(\lambda)=-(\lambda-3)^{3},\qquad autovalor: \lambda=3 (multiplicidade algébrica 3).

Exercícios relacionados