A hamiltoniana de um sistema físico particular é dada por H\left(z, p_{\theta}, p_{z}\right)=\frac{p_{\theta}^{2}}{2 m R}+\frac{p_{z}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} k z^{2}, onde k e R são constantes. p_{\theta} e p_{z} são os momentos conjugados com as coordenadas \theta e z. Usando as equações canônicas de movimento, obtém-se
a) \dot{p}_{\theta} \neq 0 e \dot{p}_{z}=0, para z \neq 0
b) \dot{p}_{\theta}=0 e \dot{p}_{z} \neq 0, para z \neq 0
c) \dot{\theta}=0 e \dot{z}=0, para p_{z} \neq 0
d) \dot{p}_{\theta} \neq 0 e \dot{p}_{z} \neq 0, para z \neq 0

Passo 1

O enunciado dá a hamiltoniana de um sistema com coordenadas generalizadas \theta e z e momentos conjugados p_{\theta} e p_{z}:
H\bigl(z,p_{\theta},p_{z}\bigr) =\frac{p_{\theta}^{2}}{2mR}+\frac{p_{z}^{2}}{2m}+\frac{1}{2}k\,z^{2}.
O conteúdo necessário é aplicar as equações canônicas de Hamilton: \dot q_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} e \dot p_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}.

Passo 2

Identificamos q_{1}=\theta, q_{2}=z e seus momentos p_{1}=p_{\theta}, p_{2}=p_{z}. Logo as equações para os momentos são
\dot p_{\theta} =-\frac{\partial H}{\partial \theta}, \qquad \dot p_{z} =-\frac{\partial H}{\partial z}.

Passo 3

Como H não depende explicitamente de \theta, temos
\dot p_{\theta} =-\frac{\partial H}{\partial \theta} =0.

Passo 4

Para \dot p_{z} calculamos a derivada de H em relação a z:
\dot p_{z} =-\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{1}{2}k\,z^{2}\Bigr) =-k\,z.
Portanto, sempre que z\neq0, \dot p_{z}\neq0.

Passo 5

Confrontando com as alternativas:
\dot p_{\theta}=0
\dot p_{z}\neq0 para z\neq0
corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) \dot p_{\theta}=0 e \dot p_{z}\neq0, para z\neq0.

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