Um sistema quântico de dois níveis possui seu operador Hamiltoniano descrito por:
Encontre os autovalores de H=(cc omega0 & -i omega1 i omega1 & omega0 ) , sabendo que H são números reais.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos um Hamiltoniano 2×2
omega0 & -i,omega1[6pt] i,omega1 & omega0
e quer os autovalores (λ) de .
Isso é um problema clássico de autovalores de matriz: a gente vai montar a equação característica
,
usar a fórmula do determinante 2×2 e resolver pra λ.

Passo 2

Escrevendo H - lambda I = omega0 - lambda & -i,omega1[4pt] i,omega1 & omega0 - lambda :

Passo 3

Aplicamos a fórmula do determinante de 2×2, que é
a & b c & d.
Aqui
det(H - lambda I) = (omega0 - lambda)^2 ;-; (-i,omega1)(i,omega1) ,
,
,
.
Então

Passo 4

Vamos simplificar o segundo termo:
(-i,omega1)(i,omega1) = -,i^2,omega1^2 = -,(-1),omega1^2 = omega1^2
Logo
det(H - lambda I) = (omega0 - lambda)^2 - omega1^2
Colocando igual a zero dá a equação característica:
(omega0 - lambda)^2 - omega1^2 = 0

Passo 5

Essa equação é diferença de quadrados, ou seja
(omega0 - lambda - omega1),(omega0 - lambda + omega1) = 0
Então ou

ou
.

Passo 6

Resolvendo cada caso:
  1. .
  2. .

Resposta

Os autovalores de boxedlambda1 = omega0 + omega1, lambda2 = omega0 - omega1 são

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