Uma haste de 30 cm move-se com seus extremos apoiados em dois fios perpendiculares. Identifique o lugar geométrico descrito pelo ponto médio da haste.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma haste de comprimento 30 cm cujos extremos deslizam em dois fios perpendiculares. Queremos achar o lugar geométrico do ponto médio da haste. O conteúdo é geometria analítica: usar coordenadas e a condição de distância fixa.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas cujos eixos coincidem com os fios. Sejam (a,0) e (0,b) as coordenadas dos extremos da haste. Como a distância entre eles é 30, vale a relação pelo teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = 30^2 = 900
O ponto médio M da haste tem coordenadas
M = l(tfraca2,,tfracb2r)
Chamando l(x,yr)=M, temos a=2x e b=2y.

Passo 3

Substituindo a=2x e b=2y na relação a^2+b^2=900, obtemos
(2x)^2 + (2y)^2 = 900 Longrightarrow 4(x^2+y^2)=900 Longrightarrow x^2 + y^2 = 225

Passo 4

Portanto, o lugar geométrico do ponto médio é o círculo de centro na origem e raio 15 cm. Se considerarmos a haste sempre no interior do ângulo formado pelos fios (primeiro quadrante), teremos apenas o arco correspondente a x>=0,;y>=0.

Resposta

O ponto médio descreve a circunferência
x^2 + y^2 = 225
(de raio 15 cm, centro na interseção dos fios; em geral todo o círculo, ou apenas o quarto de círculo no primeiro quadrante).

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