Uma haste de 30 cm move-se com seus extremos apoiados em dois fios perpendiculares. Identifique o lugar geométrico descrito pelo ponto médio da haste.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma haste de comprimento
cm cujos extremos deslizam em dois fios perpendiculares. Queremos achar o lugar geométrico do ponto médio da haste. O conteúdo é geometria analítica: usar coordenadas e a condição de distância fixa.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas cujos eixos coincidem com os fios. Sejam
e
as coordenadas dos extremos da haste. Como a distância entre eles é
, vale a relação pelo teorema de Pitágoras:
O ponto médio
da haste tem coordenadas
Chamando
, temos
e
.
Passo 3
Substituindo
e
na relação
, obtemos
Passo 4
Portanto, o lugar geométrico do ponto médio é o círculo de centro na origem e raio
cm. Se considerarmos a haste sempre no interior do ângulo formado pelos fios (primeiro quadrante), teremos apenas o arco correspondente a
.
Resposta
O ponto médio descreve a circunferência
(de raio
cm, centro na interseção dos fios; em geral todo o círculo, ou apenas o quarto de círculo no primeiro quadrante).