Seja A B C D o paralelogramo tal que A=(1,0,2), B=(1,-1,2) e C=(0,2,-2). Determine:
(a) as coordenadas de A B e B C;
(b) as coordenadas do vértice D;
(c) as coordenadas do vetor A M onde M é o ponto médio de A B;
(d) as coordenadas do ponto N pertencente ao segmento C D tal que C N=34 C D.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo ABCD com
A=(1,0,2), B=(1,-1,2), C=(0,2,-2)
e pede:
(a) os vetores AB e BC;
(b) o vértice D;
(c) o vetor AM onde M é o ponto médio de AB;
(d) o ponto N em CD tal que CN=tfrac34,CD.

Passo 2

Para (a) usamos subtração de coordenadas:
AB=B-A=(1-1,;-1-0,;2-2)=(0,-1,0),
BC=C-B=(0-1,;2-(-1),;-2-2)=(-1,3,-4)

Passo 3

Para (b) num paralelogramo vale AD=BC, ou seja D=A+BC. Logo
D=(1,0,2)+(-1,3,-4)=(0,3,-2)

Passo 4

Para (c) o ponto médio de AB é
M=A+B2=l(tfrac1+12,;tfrac0+(-1)2,;tfrac2+22r) =(1,-tfrac12,2)
Então
AM=M-A=(1-1,;-tfrac12-0,;2-2)=(0,-tfrac12,0)

Passo 5

Para (d) calculamos primeiro
CD=D-C=(0-0,;3-2,;-2-(-2))=(0,1,0)
Como CN=tfrac34,CD=(0,tfrac34,0), temos
N=C+CN=(0,2,-2)+(0,tfrac34,0)=(0,tfrac114,-2)

Resposta

(a) AB=(0,-1,0), BC=(-1,3,-4).
(b) D=(0,3,-2).
(c) AM=(0,-tfrac12,0).
(d) N=(0,tfrac114,-2).

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