Uma haste de aço de baixo carbono com 0,6 \mathrm{~cm} de diâmetro, a 38^{\circ} \mathrm{C} é rapidamente imersa em um meio liquido a 93{ }^{\circ} \mathrm{C} com \mathrm{h}_{\mathrm{c}}=110 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Determine o tempo necessário para a haste aquecer até 88^{\circ} \mathrm{C}.
Dados para o cobre: \mathrm{k}=43 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ; \mathrm{c}=473 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ; \rho=7801 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \alpha=1,172.10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Pede: determinar o tempo necessário para a haste aquecer de 38^\circ\mathrm{C} até 88^\circ\mathrm{C} após ser imersa num fluido a 93^\circ\mathrm{C} com coeficiente convectivo h_{\mathrm{c}}=110\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Dados geométricos:
    • diâmetro da haste: \,d=0,6\\ \mathrm{cm}=0,006\\ \mathrm{m}.
    • raio: \,r=\dfrac{d}{2}=0,003\\ \mathrm{m}.
  • Dados do material (fornecidos no enunciado como “Dados para o cobre”):
    • condutividade térmica: \,k=43\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
    • calor específico: \,c=473\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
    • densidade: \,\rho=7801\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • difusividade térmica: \,\alpha=1,172\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (não será necessária diretamente se usarmos o método lumped).
  • Temperaturas:
    • inicial: \,T_i=38^\circ\mathrm{C}.
    • fluido (infinito térmico): \,T_\infty=93^\circ\mathrm{C}.
    • alvo: \,T(t)=88^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Escolha do método e verificação da hipótese de temperatura uniforme (método “lumped capacitance”).
Explicação didática curta: o método lumped assume que a temperatura dentro do sólido é praticamente uniforme em cada instante (varia só com o tempo). Essa hipótese é aceitável quando o número de Biot satisfaz \mathrm{Bi}<0,1. O número de Biot é
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k},
onde L_c é o comprimento característico do corpo dado por L_c=\dfrac{V}{A_s} (volume sobre área superficial). Para um cilindro longo (comprimento muito maior que o diâmetro) podemos desprezar as faces e usar só a área lateral; daí
V=\pi r^2 L,\qquad A_s=2\pi r L\quad\Rightarrow\quad L_c=\frac{V}{A_s}=\frac{r}{2}.
Calculando L_c com r=0,003\\ \mathrm{m}:
L_c=\frac{r}{2}=0,0015\\ \mathrm{m}.
Agora o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k}=\frac{110\cdot0,0015}{43}\approx0,00384.
Interpretação: \mathrm{Bi}\approx0,00384<0,1, portanto a hipótese de temperatura espacialmente uniforme dentro da haste é válida e podemos usar o método lumped. (Em bom português: a resistência térmica dentro do metal é muito pequena comparada à resistência de convecção na superfície, logo o metal aquece quase todo junto.)

Passo 3

Equação do método lumped e dedução da fórmula para o tempo.
A equação de balanço térmico (energia) para temperatura uniforme T(t) é
m c \frac{dT}{dt} = h A_s \bigl(T_\infty - T(t)\bigr),
onde m=\rho V. Separando e integrando obtemos a solução exponencial padrão:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\Bigl(-\frac{h A_s}{\rho V c}\,t\Bigr).
Usando A_s/V = 1/L_c obtemos uma forma mais prática:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\exp\!\Bigl(-\frac{h}{\rho c L_c}\,t\Bigr).
Isolando o tempo t:
t=-\frac{\rho c L_c}{h}\,\ln\!\Biggl(\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\Biggr).
Aqui cada símbolo significa:
  • t: tempo que se quer calcular (s).
  • T(t): temperatura alvo no tempo t ( ^\circ\mathrm{C}).
  • T_i: temperatura inicial ( ^\circ\mathrm{C}).
  • T_\infty: temperatura do fluido ( ^\circ\mathrm{C}).
  • \rho: densidade ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3).
  • c: calor específico ( \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).
  • L_c: comprimento característico ( \mathrm{m}).
  • h: coeficiente convectivo ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}).

Passo 4

Substituição numérica e cálculo passo a passo.
Primeiro calcule o argumento do logaritmo:
\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\frac{88-93}{38-93}=\frac{-5}{-55}=\frac{1}{11}\approx0,090909\ldots
O logaritmo natural:
\ln\!\Bigl(\frac{1}{11}\Bigr)=-\ln(11)\approx-2{,}397895.
Agora calcule o coeficiente \dfrac{\rho c L_c}{h}.
Calcule \rho c:
\rho c = 7801\cdot 473 = 3\,689\,873\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{K}.
Multiplicando por L_c=0,0015\\ \mathrm{m}:
\rho c L_c = 3\,689\,873\cdot 0,0015 = 5\,534{,}8095\\ \mathrm{J}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
Dividindo por h=110\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}:
\frac{\rho c L_c}{h}=\frac{5\,534{,}8095}{110}=50{,}31645\\ \mathrm{s}.
Finalmente o tempo:
t=-\frac{\rho c L_c}{h}\,\ln\!\Bigl(\frac{1}{11}\Bigr)=50{,}31645\cdot 2{,}397895\approx120{,}65\\ \mathrm{s}.
Arredondando com sensatez para duas casas significativas compatíveis com os dados:
t\approx121\\ \mathrm{s}\approx2{,}01\\ \mathrm{min}.
Um comentário de amigo: deu cerca de dois minutos — rapidinho! — e a etapa-chave foi checar o número de Biot para justificar a aproximação que torna o cálculo bem simples.

Resposta

t\approx121\\ \mathrm{s}\approx2{,}01\\ \mathrm{min}

Exercícios relacionados