Uma haste de aço de baixo carbono com
de diâmetro, a
é rapidamente imersa em um meio liquido a
com
. Determine o tempo necessário para a haste aquecer até
.
Dados para o cobre:
Dados para o cobre:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Pede: determinar o tempo necessário para a haste aquecer de
até após ser imersa num fluido a com coeficiente convectivo . - Dados geométricos:
- diâmetro da haste:
. - raio:
.
- diâmetro da haste:
- Dados do material (fornecidos no enunciado como “Dados para o cobre”):
- condutividade térmica:
. - calor específico:
. - densidade:
. - difusividade térmica:
(não será necessária diretamente se usarmos o método lumped).
- condutividade térmica:
- Temperaturas:
- inicial:
. - fluido (infinito térmico):
. - alvo:
.
- inicial:
Passo 2
Escolha do método e verificação da hipótese de temperatura uniforme (método “lumped capacitance”).
Explicação didática curta: o método lumped assume que a temperatura dentro do sólido é praticamente uniforme em cada instante (varia só com o tempo). Essa hipótese é aceitável quando o número de Biot satisfaz
. O número de Biot é
onde
é o comprimento característico do corpo dado por
(volume sobre área superficial). Para um cilindro longo (comprimento muito maior que o diâmetro) podemos desprezar as faces e usar só a área lateral; daí
Calculando
com
:
Agora o número de Biot:
Interpretação:
, portanto a hipótese de temperatura espacialmente uniforme dentro da haste é válida e podemos usar o método lumped. (Em bom português: a resistência térmica dentro do metal é muito pequena comparada à resistência de convecção na superfície, logo o metal aquece quase todo junto.)
Passo 3
Equação do método lumped e dedução da fórmula para o tempo.
A equação de balanço térmico (energia) para temperatura uniforme
é
onde
. Separando e integrando obtemos a solução exponencial padrão:
Usando
obtemos uma forma mais prática:
Isolando o tempo
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: tempo que se quer calcular (s). -
: temperatura alvo no tempo ( ). -
: temperatura inicial ( ). -
: temperatura do fluido ( ). -
: densidade ( ). -
: calor específico ( ). -
: comprimento característico ( ). -
: coeficiente convectivo ( ).
Passo 4
Substituição numérica e cálculo passo a passo.
Primeiro calcule o argumento do logaritmo:
O logaritmo natural:
Agora calcule o coeficiente
.
Calcule
:
Multiplicando por
:
Dividindo por
:
Finalmente o tempo:
Arredondando com sensatez para duas casas significativas compatíveis com os dados:
Um comentário de amigo: deu cerca de dois minutos — rapidinho! — e a etapa-chave foi checar o número de Biot para justificar a aproximação que torna o cálculo bem simples.