Quando movido de um meio a outro em temperatura diferente, o termopar deve dispor de um tempo suficiente para atingir o equilíbrio térmico nas novas condições antes que se faça qualquer leitura de medição. Considere um fio de termopar em cobre, com 0,1 \mathrm{~cm} de diâmetro, originalmente a 150^{\circ} \mathrm{C}. Determine a resposta à temperatura quando esse fio é rapidamente imerso em:
ar a 40{ }^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Pedido: determinar a resposta temporal da temperatura do fio de termopar (fio de cobre) quando ele é rapidamente imerso em ar a 40{ }^\circ\mathrm{C} com coeficiente de convecção h=10\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-1}. Ou seja, encontrar T(t) e caracterizar a velocidade com que o fio se aproxima da temperatura do ar.
  • Dados:
    • Diâmetro do fio: D=0{,}1\\ \mathrm{cm}.
    • Temperatura inicial do fio: T_i=150{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do ar (ambiente): T_\infty=40{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente de convecção: h=10\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-1}.
Observação importante: para tratar o problema precisamos decidir se podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped capacitance). Vou checar isso calculando o número de Biot; se Bi\ll0{,}1 usamos o modelo lumped e a resposta é exponencial simples.

Passo 2

Converter unidades e calcular geometria do fio.
  • Converter o diâmetro para metros: D = 0{,}1\\ \mathrm{cm} = 0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • Raio do fio: r = \frac{D}{2} = \frac{0{,}001}{2} = 0{,}0005\\ \mathrm{m}.
  • Para um fio longo (comprimento muito maior que o raio), a dimensão característica de calor (comprimento característico) é L_c = \frac{V}{A} = \frac{r}{2},porque para um cilindro longo V=\pi r^2 L e área lateral A=2\pi r L, logo V/A=r/2.
  • Portanto L_c = \frac{r}{2} = \frac{0{,}0005}{2} = 0{,}00025\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Reunir propriedades térmicas do cobre (valores típicos usados em provas; explico por que estes números):
  • Densidade: \rho \approx 8960\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}.
  • Calor específico a pressão constante (próximo suficiente para sólidos): c \approx 385\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
  • Condutividade térmica: k \approx 400\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
Esses valores são usados para calcular o número de Biot e a constante de tempo térmica.

Passo 4

Calcular o número de Biot para justificar o uso do modelo lumped.
  • Fórmula do número de Biot: Bi = \frac{h L_c}{k},onde h é o coeficiente de convecção, L_c é o comprimento característico e k é a condutividade térmica.
  • Substituindo valores: Bi = \frac{10\cdot 0{,}00025}{400} = \frac{0{,}0025}{400} = 6{,}25\times 10^{-6}.
  • Interpretação: como Bi\approx 6{,}25\times10^{-6}\ll 0{,}1, a resistência térmica interna do fio é desprezível em comparação à resistência por convecção na superfície. Assim, a temperatura do fio pode ser considerada praticamente uniforme em cada instante — o que valida o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped capacitance). Isso simplifica muito a solução: a temperatura do fio varia no tempo como uma exponencial simples.

Passo 5

Derivar a equação da resposta temporal (modelo lumped) e explicar cada termo.
  • Equação diferencial de balanço de energia (modelo lumped): m c \frac{dT}{dt} = -h A\bigl(T(t)-T_\infty\bigr),onde
    • m é a massa do fio,
    • c é o calor específico,
    • A é a área de troca térmica (área lateral do fio),
    • T(t) é a temperatura do fio em função do tempo,
    • T_\infty é a temperatura do fluido (ar).
  • Dividindo por m c e rearranjando obtém-se a forma padrão de decaimento exponencial com constante de tempo \tau: \frac{dT}{dt} = -\frac{h A}{m c}\bigl(T-T_\infty\bigr) \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{m c}{h A} = \frac{\rho V c}{h A} = \frac{\rho c L_c}{h}.Aqui expliquei a passagem m=\rho V e que V/A=L_c.
  • Agora calcular numericamente \tau.
    Primeiro calcule \rho c: \rho c = 8960\cdot 385 = 3\,449\,600\\ \mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{K}^{-1}.Multiplicando por L_c: \rho c L_c = 3\,449\,600\cdot 0{,}00025 = 862{,}4\\ \mathrm{J}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-1}.Finalmente dividindo por h: \tau = \frac{\rho c L_c}{h} = \frac{862{,}4}{10} = 86{,}24\\ \mathrm{s}.Interpretação física: \tau é o tempo característico de resfriamento; após um tempo \sim\tau a diferença de temperatura entre fio e ar terá caído para 1/e do seu valor inicial.

Passo 6

Escrever a solução final T(t) e dar alguns exemplos numéricos para intuir o comportamento (como você faria na prova).
  • Solução geral do modelo lumped (condição inicial T(0)=T_i): T(t) = T_\infty + \bigl(T_i - T_\infty\bigr)\,e^{-t/\tau}.Onde:
    • T_i=150{ }^\circ\mathrm{C} (temperatura inicial),
    • T_\infty=40{ }^\circ\mathrm{C} (temperatura do ar),
    • \tau=86{,}24\\ \mathrm{s} (constante de tempo calculada).
  • Substituindo os números: T(t) = 40{ }^\circ\mathrm{C} + 110{ }^\circ\mathrm{C}\,e^{-t/86{,}24}.
  • Exemplos rápidos (para sentir a escala de tempo):
    • Após um tempo t=\tau: T(\tau)=40+110\,e^{-1}\approx 40+110\cdot0{,}3679 \approx 80{,}5{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Após t=3\tau: T(3\tau)=40+110\,e^{-3}\approx 40+110\cdot0{,}0498 \approx 45{,}5{ }^\circ\mathrm{C}.
    • Tempo para ficar a 1{ }^\circ\mathrm{C} de T_\infty (i.e., T(t)-T_\infty=1{ }^\circ\mathrm{C}): 1 = 110\,e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad t=\tau\ln(110)\approx 86{,}24\cdot 4{,}700 \approx 405\\ \mathrm{s}\approx 6{,}8\\ \mathrm{min}.

Resposta

T(t)=40{ }^\circ\mathrm{C}+110{ }^\circ\mathrm{C}\,e^{-t/86{,}24}\n
Constante de tempo: \tau=86{,}24\\ \mathrm{s}

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