Quando movido de um meio a outro em temperatura diferente, o termopar deve dispor de um tempo suficiente para atingir o equilíbrio térmico nas novas condições antes que se faça qualquer leitura de medição. Considere um fio de termopar em cobre, com
de diâmetro, originalmente a
. Determine a resposta à temperatura quando esse fio é rapidamente imerso em:
ar a
ar a
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
- Pedido: determinar a resposta temporal da temperatura do fio de termopar (fio de cobre) quando ele é rapidamente imerso em ar a
com coeficiente de convecção . Ou seja, encontrar e caracterizar a velocidade com que o fio se aproxima da temperatura do ar. - Dados:
- Diâmetro do fio:
. - Temperatura inicial do fio:
. - Temperatura do ar (ambiente):
. - Coeficiente de convecção:
.
- Diâmetro do fio:
Observação importante: para tratar o problema precisamos decidir se podemos usar o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped capacitance). Vou checar isso calculando o número de Biot; se
usamos o modelo lumped e a resposta é exponencial simples.
Passo 2
Converter unidades e calcular geometria do fio.
- Converter o diâmetro para metros:
- Raio do fio:
- Para um fio longo (comprimento muito maior que o raio), a dimensão característica de calor (comprimento característico) é
porque para um cilindro longo e área lateral , logo . - Portanto
Passo 3
Reunir propriedades térmicas do cobre (valores típicos usados em provas; explico por que estes números):
- Densidade:
. - Calor específico a pressão constante (próximo suficiente para sólidos):
. - Condutividade térmica:
.
Esses valores são usados para calcular o número de Biot e a constante de tempo térmica.
Passo 4
Calcular o número de Biot para justificar o uso do modelo lumped.
- Fórmula do número de Biot:
onde é o coeficiente de convecção, é o comprimento característico e é a condutividade térmica. - Substituindo valores:
- Interpretação: como
, a resistência térmica interna do fio é desprezível em comparação à resistência por convecção na superfície. Assim, a temperatura do fio pode ser considerada praticamente uniforme em cada instante — o que valida o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped capacitance). Isso simplifica muito a solução: a temperatura do fio varia no tempo como uma exponencial simples.
Passo 5
Derivar a equação da resposta temporal (modelo lumped) e explicar cada termo.
- Equação diferencial de balanço de energia (modelo lumped):
onde -
é a massa do fio, -
é o calor específico, -
é a área de troca térmica (área lateral do fio), -
é a temperatura do fio em função do tempo, -
é a temperatura do fluido (ar).
-
- Dividindo por
e rearranjando obtém-se a forma padrão de decaimento exponencial com constante de tempo : Aqui expliquei a passagem e que . - Agora calcular numericamente
.
Primeiro calcule: Multiplicando por : Finalmente dividindo por : Interpretação física: é o tempo característico de resfriamento; após um tempo a diferença de temperatura entre fio e ar terá caído para do seu valor inicial.
Passo 6
Escrever a solução final
e dar alguns exemplos numéricos para intuir o comportamento (como você faria na prova).
- Solução geral do modelo lumped (condição inicial
): Onde: -
(temperatura inicial), -
(temperatura do ar), -
(constante de tempo calculada).
-
- Substituindo os números:
- Exemplos rápidos (para sentir a escala de tempo):
- Após um tempo
: - Após
: - Tempo para ficar a
de (i.e., ):
- Após um tempo
Resposta
Constante de tempo: