Quando movido de um meio a outro em temperatura diferente, o termopar deve dispor de um tempo suficiente para atingir o equilíbrio térmico nas novas condições antes que se faça qualquer leitura de medição. Considere um fio de termopar em cobre, com
de diâmetro, originalmente a
. Determine a resposta à temperatura quando esse fio é rapidamente imerso em:
água a
água a
Passo 1
O enunciado pede a resposta temporal da temperatura de um fio de termopar de cobre, inicialmente a
, quando é subitamente imerso em água a
. Dados fornecidos:
- Diâmetro do fio:
. - Temperatura inicial do fio:
. - Temperatura do banho (fluido):
. - Coeficiente de convecção:
.
O objetivo é determinar a evolução temporal
do fio (a “resposta à temperatura”) após a imersão.
Passo 2
Converter dimensões e definir grandezas geométricas do fio (assumindo fio longo, de secção circular uniforme):
- Diâmetro em metros:
. - Raio:
.
Para o método que vamos usar é útil o volume específico por área superficial (comprimentocancela-se): - Volume por comprimento:
. - Área lateral por comprimento:
.
Portanto o comprimento característico (razão volume/área superficial) é
Logo
Passo 3
Avaliar se podemos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance). A condição clássica é que o número de Biot satisfaça
, onde
e
é a condutividade térmica do material (cobre). Vou usar valores aproximados típicos para cobre:
- Densidade:
. - Calor específico (capacidade térmica mássica):
. - Condutividade térmica:
(valor aproximado; usar é comum).
Calcular
:
Como
, a hipótese de temperatura uniforme no sólido (lumped capacitance) é extremamente boa. Ou seja, o fio pode ser considerado com temperatura espacialmente homogênea que varia apenas no tempo.
Passo 4
Derivar a equação de resposta temporal (modelo lumped capacitance). Fazer balanço de energia do fio:
- Energia interna do fio por unidade de comprimento:
. - Taxa de perda de energia por convecção por unidade de comprimento:
.
Equilíbrio energético (variação temporal da energia interna = perda por convecção):
Como
e
, os
cancelam e obtemos a forma padrão:
onde definimos a constante de tempo
A solução desta equação diferencial, com condição inicial
, é
Passo 5
Calcular numericamente a constante de tempo
. Usando
com
,
,
e
:
Portanto a constante de tempo é aproximadamente
.
Passo 6
Escrever a resposta temporal completa substituindo os valores de
,
e
:
Simplificando a diferença inicial:
Esse é o resultado buscado: a temperatura do fio decai exponencialmente de
para
com constante de tempo
.
Passo 7
Para intuição rápida (valores úteis, se for útil na prova):
- Após um tempo igual a
(aprox. ):
- Após
(aprox. ), resta cerca de da diferença inicial: (próximo do equilíbrio). - Para ficar a
de (ou seja ), resolver .
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas o modelo lumped é simples e poderoso — com estes passos você resolve rapidinho outras questões parecidas.