Quando movido de um meio a outro em temperatura diferente, o termopar deve dispor de um tempo suficiente para atingir o equilíbrio térmico nas novas condições antes que se faça qualquer leitura de medição. Considere um fio de termopar em cobre, com 0,1 \mathrm{~cm} de diâmetro, originalmente a 150^{\circ} \mathrm{C}. Determine a resposta à temperatura quando esse fio é rapidamente imerso em:
água a 40^{\circ} \mathrm{C}\left(\mathrm{h}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right)

Passo 1

O enunciado pede a resposta temporal da temperatura de um fio de termopar de cobre, inicialmente a 150^\circ\mathrm{C}, quando é subitamente imerso em água a 40^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
  • Diâmetro do fio: d=0{,}1\\ \mathrm{cm}.
  • Temperatura inicial do fio: T_i=150^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do banho (fluido): T_\infty=40^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h=80\\ \mathrm{W}\!/\!(\mathrm{m}^2\!\cdot\!\mathrm{K}).
O objetivo é determinar a evolução temporal T(t) do fio (a “resposta à temperatura”) após a imersão.

Passo 2

Converter dimensões e definir grandezas geométricas do fio (assumindo fio longo, de secção circular uniforme):
  • Diâmetro em metros: d=0{,}1\\ \mathrm{cm}=0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • Raio: r=\dfrac{d}{2}=0{,}0005\\ \mathrm{m}.
    Para o método que vamos usar é útil o volume específico por área superficial (comprimento L cancela-se):
  • Volume por comprimento: V/L=\pi r^2.
  • Área lateral por comprimento: A_s/L=2\pi r.
    Portanto o comprimento característico (razão volume/área superficial) é
L_c=\frac{V}{A_s}=\frac{\pi r^2 L}{2\pi r L}=\frac{r}{2}.
Logo
L_c=\frac{r}{2}=0{,}00025\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Avaliar se podemos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance). A condição clássica é que o número de Biot satisfaça \mathrm{Bi}<0{,}1, onde
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k},
e k é a condutividade térmica do material (cobre). Vou usar valores aproximados típicos para cobre:
  • Densidade: \rho=8960\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Calor específico (capacidade térmica mássica): c=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Condutividade térmica: k=385\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} (valor aproximado; usar k\approx 385\text{--}400 é comum).
Calcular \mathrm{Bi}:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{80\cdot 0{,}00025}{385}\approx 0{,}000052.
Como \mathrm{Bi}\approx 5{,}2\times 10^{-5}\ll 0{,}1, a hipótese de temperatura uniforme no sólido (lumped capacitance) é extremamente boa. Ou seja, o fio pode ser considerado com temperatura espacialmente homogênea que varia apenas no tempo.

Passo 4

Derivar a equação de resposta temporal (modelo lumped capacitance). Fazer balanço de energia do fio:
  • Energia interna do fio por unidade de comprimento: \rho c (V/L) T(t).
  • Taxa de perda de energia por convecção por unidade de comprimento: h (A_s/L)\big(T(t)-T_\infty\big).
Equilíbrio energético (variação temporal da energia interna = perda por convecção):
\rho c \frac{V}{L}\frac{dT}{dt} = -h \frac{A_s}{L}\big(T-T_\infty\big).
Como \dfrac{V}{L}=\pi r^2 e \dfrac{A_s}{L}=2\pi r, os \pi cancelam e obtemos a forma padrão:
\frac{dT}{dt} = -\frac{h A_s}{\rho c V}\big(T-T_\infty\big) = -\frac{1}{\tau}\big(T-T_\infty\big),
onde definimos a constante de tempo
\tau=\frac{\rho c V}{h A_s}=\frac{\rho c L_c}{h}.
A solução desta equação diferencial, com condição inicial T(0)=T_i, é
T(t)=T_\infty +\big(T_i-T_\infty\big) e^{-t/\tau}.

Passo 5

Calcular numericamente a constante de tempo \tau. Usando
\tau=\frac{\rho c L_c}{h},
com \rho=8960\\ \mathrm{kg/m^3}, c=385\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, L_c=0{,}00025\\ \mathrm{m} e h=80\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}:
\rho c =8960\cdot 385=3\,449\,600\\ \mathrm{J/(m^3\cdot K)}.
\rho c L_c =3\,449\,600\cdot 0{,}00025=862{,}4\\ \mathrm{J/(m^2\cdot K)}.
\tau=\frac{862{,}4}{80}=10{,}78\\ \mathrm{s}.
Portanto a constante de tempo é aproximadamente \tau\approx 10{,}78\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Escrever a resposta temporal completa substituindo os valores de T_i, T_\infty e \tau:
T(t)=40^\circ\mathrm{C}+\big(150^\circ\mathrm{C}-40^\circ\mathrm{C}\big)\,e^{-t/10{,}78\\ \mathrm{s}}.
Simplificando a diferença inicial:
T(t)=40^\circ\mathrm{C}+110^\circ\mathrm{C}\,e^{-t/10{,}78\\ \mathrm{s}}.
Esse é o resultado buscado: a temperatura do fio decai exponencialmente de 150^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C} com constante de tempo \tau\approx 10{,}78\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Para intuição rápida (valores úteis, se for útil na prova):
  • Após um tempo igual a \tau (aprox. 10{,}8\\ \mathrm{s}):
T(\tau)=40^\circ\mathrm{C}+110^\circ\mathrm{C}\,e^{-1}\approx 80{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Após 5\tau (aprox. 54\\ \mathrm{s}), resta cerca de 0{,}67\% da diferença inicial: T(5\tau)\approx 40{,}7^\circ\mathrm{C} (próximo do equilíbrio).
  • Para ficar a 1^\circ\mathrm{C} de T_\infty (ou seja T=41^\circ\mathrm{C}), resolver 110 e^{-t/\tau}=1\Rightarrow t=\tau\ln(110)\approx 10{,}78\cdot 4{,}700\approx 50{,}7\\ \mathrm{s}.
Pequeno incentivo: deu trabalho, mas o modelo lumped é simples e poderoso — com estes passos você resolve rapidinho outras questões parecidas.

Resposta

T(t)=40^\circ\mathrm{C}+110^\circ\mathrm{C}\,e^{-t/10{,}78\\ \mathrm{s}}

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