Um cilindro maciço de raio r_{0}=0.025 \mathrm{~m} gera calor volumétrico uniforme \dot{q}=5 \times 10^{7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} e tem condutividade k=30 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. A condição de simetria é \left.\frac{d T}{d r}\right|_{r=0}=0 e T\left(r_{0}\right)=T_{s}= 120^{\circ} C. a) Mostre que:
T(r)=-\frac{\dot{q}}{4 k} r^{2}+C_{2}
b) Determine C_{2} em função de T_{s} e calcule a temperatura máxima. (Resposta: T_{\max }= T_{s}+\frac{\dot{q} r_{0}^{2}}{4 k}=141{ }^{\circ} \mathrm{C} )
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Mostrar que a solução radial para a temperatura no cilindro é
T(r)=-\frac{\dot{q}}{4k}\,r^{2}+C_{2}.
Determinar C_{2} em função de T_{s} e calcular a temperatura máxima.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Esclarecimento físico e equação governante (aulas em 1 minuto):
Estamos no regime estacionário (temperatura não depende do tempo) e o aquecimento é volumétrico uniforme dentro do cilindro.
Para um problema axisimétrico (sem dependência em \theta nem em z) a equação diferencial de condução de calor com geração volumétrica é, em coordenadas cilíndricas,
Agora aplicamos a condição de simetria no eixo r=0: \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=0}=0. Note que o termo \dfrac{C_{1}}{r} seria singular quando r\to 0 a menos que C_{1}=0. Além disso, pela simetria física o gradiente no centro deve ser zero; portanto necessariamente
C_{1}=0.
Com isso fica
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{q}}{2k}\,r.
Passo 5
Integrar mais uma vez para obter T(r):
T(r) = \int \left(-\frac{\dot{q}}{2k}\,r\right) dr = -\frac{\dot{q}}{4k}\,r^{2} + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração. Pronto — isso prova a fórmula pedida na letra (a):
\boxed{T(r)=-\frac{\dot{q}}{4k}\,r^{2}+C_{2}.}
Passo 6
Determinar C_{2} usando a condição de contorno na superfície r=r_{0}:
A função T(r) é da forma constante menos \frac{\dot{q}}{4k}r^{2}, ou seja é uma parábola côncava para baixo (coeficiente negativo de r^{2}). Portanto a temperatura máxima ocorre em r=0.