Um cilindro maciço de raio r_{0}=0.025 \mathrm{~m} gera calor volumétrico uniforme \dot{q}=5 \times 10^{7} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} e tem condutividade k=30 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}. A condição de simetria é \left.\frac{d T}{d r}\right|_{r=0}=0 e T\left(r_{0}\right)=T_{s}= 120^{\circ} C. a) Mostre que:
T(r)=-\frac{\dot{q}}{4 k} r^{2}+C_{2}
b) Determine C_{2} em função de T_{s} e calcule a temperatura máxima. (Resposta: T_{\max }= T_{s}+\frac{\dot{q} r_{0}^{2}}{4 k}=141{ }^{\circ} \mathrm{C} )

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que a solução radial para a temperatura no cilindro é
T(r)=-\frac{\dot{q}}{4k}\,r^{2}+C_{2}.
  1. Determinar C_{2} em função de T_{s} e calcular a temperatura máxima.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\dot{q}=5\times 10^{7}\\ \mathrm{W/m^{3}},\qquad r_{0}=0{,}025\\ \mathrm{m},\qquad k=30\\ \mathrm{W/(m\,K)},
condição de simetria
\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=0}=0,
e condição na superfície
T(r_{0})=T_{s}=120^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Esclarecimento físico e equação governante (aulas em 1 minuto):
  • Estamos no regime estacionário (temperatura não depende do tempo) e o aquecimento é volumétrico uniforme dentro do cilindro.
  • Para um problema axisimétrico (sem dependência em \theta nem em z) a equação diferencial de condução de calor com geração volumétrica é, em coordenadas cilíndricas,
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)+\frac{\dot{q}}{k}=0.
O que cada termo significa:
  • \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) é a parte que representa a variação radial da condução de calor (um “laplaciano” radial).
  • \dot{q}/k é a geração volumétrica \dot{q} dividida pela condutividade k, representando a fonte de calor por unidade de capacidade de condução.
Vamos resolver essa equação diferencial para obter T(r).

Passo 3

Resolver a equação diferencial por integração:
Começo multiplicando a equação por r para simplificar:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \frac{\dot{q}}{k}\,r = 0.
Agora integro em relação a r:
\int \frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)\,dr + \int \frac{\dot{q}}{k}\,r\,dr = 0.
A primeira integral dá diretamente r\frac{dT}{dr}. A segunda é \frac{\dot{q}}{k}\cdot \frac{r^{2}}{2}. Assim obtemos
r\frac{dT}{dr} + \frac{\dot{q}}{2k}\,r^{2} = C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Isolar \frac{dT}{dr} e usar a condição de simetria:
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{q}}{2k}\,r + \frac{C_{1}}{r}.
Agora aplicamos a condição de simetria no eixo r=0: \left.\dfrac{dT}{dr}\right|_{r=0}=0. Note que o termo \dfrac{C_{1}}{r} seria singular quando r\to 0 a menos que C_{1}=0. Além disso, pela simetria física o gradiente no centro deve ser zero; portanto necessariamente
C_{1}=0.
Com isso fica
\frac{dT}{dr} = -\frac{\dot{q}}{2k}\,r.

Passo 5

Integrar mais uma vez para obter T(r):
T(r) = \int \left(-\frac{\dot{q}}{2k}\,r\right) dr = -\frac{\dot{q}}{4k}\,r^{2} + C_{2},
onde C_{2} é a segunda constante de integração. Pronto — isso prova a fórmula pedida na letra (a):
\boxed{T(r)=-\frac{\dot{q}}{4k}\,r^{2}+C_{2}.}

Passo 6

Determinar C_{2} usando a condição de contorno na superfície r=r_{0}:
T(r_{0})=T_{s} = -\frac{\dot{q}}{4k}\,r_{0}^{2} + C_{2}.
Isolando C_{2} obtemos
\boxed{C_{2} = T_{s} + \frac{\dot{q}}{4k}\,r_{0}^{2}.}
Assim a solução completa é
T(r)=T_{s} + \frac{\dot{q}}{4k}\,\bigl(r_{0}^{2}-r^{2}\bigr).

Passo 7

Encontrar a temperatura máxima:
  • A função T(r) é da forma constante menos \frac{\dot{q}}{4k}r^{2}, ou seja é uma parábola côncava para baixo (coeficiente negativo de r^{2}). Portanto a temperatura máxima ocorre em r=0.
  • Logo
T_{\max}=T(0)=C_{2}=T_{s}+\frac{\dot{q}}{4k}\,r_{0}^{2}.
Agora calculo numérico com os valores dados (faço as contas passo a passo):
r_{0}^{2}=(0{,}025)^{2}=0{,}000625\\ \mathrm{m^{2}}.
\dot{q}\,r_{0}^{2}=5\times 10^{7}\times 0{,}000625=31250.
4k=4\times 30=120.
\frac{\dot{q}\,r_{0}^{2}}{4k}=\frac{31250}{120}=260{,}416666\ldots\\ \mathrm{K}.
T_{\max}=T_{s}+\frac{\dot{q}\,r_{0}^{2}}{4k}=120+260{,}416666\ldots =380{,}416666\ldots^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para duas casas decimais:
T_{\max}\approx 380{,}42^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) \displaystyle T(r)=-\frac{\dot{q}}{4k}\,r^{2}+C_{2}.
(b) \displaystyle C_{2}=T_{s}+\frac{\dot{q}}{4k}\,r_{0}^{2}.
\displaystyle T_{\max}=T_{s}+\frac{\dot{q}}{4k}\,r_{0}^{2}\approx 380{,}42^\circ\mathrm{C}.

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