(**) Uma haste de comprimento L e densidade linear \rho é suspensa a partir de uma de suas extremidades de forma que possa oscilar como um pêndulo físico.
(a) Calcule o momento de inércia da haste em relação à extremidade.
\mathbf{R}: I=\frac{1}{3} \rho L^{3}
(b) Deduza uma expressão para o período de oscilação.
\mathbf{R}: T=2 \pi \sqrt{\frac{2 L}{3 g}}
(c) Considere agora que a densidade da haste possa ser não uniforme e que d é a distância entre a extremidade e o novo centro de massa. Deduza a expressão para o período de oscilação em função de L e d considerando que o momento de inércia do novo centro de massa é dado por I_{C M}=\frac{\rho L^{3}}{12}.
\mathbf{R}: T=2 \pi \sqrt{\frac{L^{2}+12 d^{2}}{12 g d}}
(d) Encontre a distância d=d_{0} que minimize o período de oscilação.
\mathbf{R}: d_{0}=\sqrt{\frac{1}{12}} L

Passo 1

O enunciado trata de uma haste de comprimento L e densidade linear \rho que oscila como um pêndulo físico em torno de uma das extremidades. Vamos precisar de:
– Cálculo de momento de inércia por integração,
– Teorema dos eixos paralelos (para eixo passando pela extremidade),
– Fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo físico
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}},
onde I é o momento de inércia em relação ao pivô, m a massa total, g a aceleração da gravidade e d a distância do pivô ao centro de massa.

Passo 2

Para a haste uniforme, escolhemos um sistema de coordenadas com x=0 na extremidade fixa e x=L na outra ponta. Um elemento de massa é \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}x e seu momento de inércia em relação ao pivô vale \mathrm{d}I = x^2\,\mathrm{d}m. Assim,
I = \int_{0}^{L} x^2\,\rho\,\mathrm{d}x = \rho \int_{0}^{L} x^2\,\mathrm{d}x = \rho \,\frac{L^3}{3}.

Passo 3

A massa total da haste é
m = \int_{0}^{L} \rho\,\mathrm{d}x = \rho\,L,
e o centro de massa fica a
d = \frac{L}{2}.
Substituindo I = \tfrac{1}{3}\rho L^3, m=\rho L e d=L/2 na fórmula do período,
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{\tfrac{1}{3}\rho L^3}{(\rho L)\,g\,(L/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}.

Passo 4

Agora a densidade não é uniforme mas o centro de massa está a uma distância genérica d do pivô. A massa continua m=\rho L e o momento de inércia em torno do centro de massa é dado como
I_{CM} = \frac{\rho L^3}{12}.
Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento em torno do pivô é
I = I_{CM} + m\,d^2 = \frac{\rho L^3}{12} + (\rho L)\,d^2 = \rho L\!\Bigl(\frac{L^2}{12} + d^2\Bigr).
Logo, o período fica
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m g d}} = 2\pi \sqrt{\frac{\rho L\bigl(\tfrac{L^2}{12}+d^2\bigr)}{(\rho L)\,g\,d}} = 2\pi \sqrt{\frac{L^2/12 + d^2}{g\,d}} = 2\pi \sqrt{\frac{L^2 + 12\,d^2}{12\,g\,d}}.

Passo 5

Para achar d_0 que minimiza T, minimizamos o argumento do radical
f(d) = \frac{L^2 + 12d^2}{d} = \frac{L^2}{d} + 12\,d.
Derivando e igualando a zero,
f'(d) = -\frac{L^2}{d^2} + 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad d^2 = \frac{L^2}{12} \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{L}{\sqrt{12}}.
Verifica-se por segunda derivada que é mínimo.

Resposta

(a) I = \displaystyle \frac{1}{3}\,\rho\,L^{3}.
(b) T = 2\pi\,\sqrt{\dfrac{2\,L}{3\,g}}.
(c) T = 2\pi\,\sqrt{\dfrac{L^{2}+12\,d^{2}}{12\,g\,d}}.
(d) d_{0} = \displaystyle \frac{L}{\sqrt{12}}.

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