(*) Um pêndulo simples possui uma corda de L=1 \mathrm{~m} com uma massa de 5 kg em sua ponta. O sistema inicialmente se encontra em equilíbrio até que a massa é empurrada conferindo uma velocidade linear inicial de v_{0}=-2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere que a massa entre em um regime de pequenas oscilações. Defina h=0 \mathrm{~m} no ponto mais baixo do pêndulo.
(a) Qual é a altura h máxima que a massa chega? Qual é a amplitude angular correspondente a essa altura?
\mathbf{R}: h=0,2 \mathrm{~m}, \theta_{\text {max }}=\operatorname{arccos} (0,8)
(b) Qual é o período da oscilação?
R: T=2 \mathrm{~s}
(c) Obtenha a posição angular do pêndulo em função do tempo.
\mathbf{R}: \theta(t)=\theta_{\max } \cos (\pi t+\pi / 2)

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples de comprimento L=1 m e massa m=5 kg, que parte do ponto mais baixo h=0, \theta=0 com velocidade linear inicial v_{0}=-2 m/s. Como se assume pequenas oscilações, vamos usar conservação de energia para determinar a altura máxima h e a amplitude angular \theta_{\max}, e a aproximação harmônica para obter o período T e a solução \theta(t).

Passo 2

Na posição inicial toda energia é cinética
E_{k}=\tfrac12\,m\,v_{0}^{2}
e no ponto de amplitude toda energia é potencial
E_{p}=m\,g\,h.
Igualando E_{k}=E_{p} resulta
\tfrac12\,m\,v_{0}^{2}=m\,g\,h
h=\frac{v_{0}^{2}}{2\,g}=\frac{(-2)^{2}}{2\cdot9,8}\approx0,20\text{ m}.
A relação entre h e o ângulo máximo é
h = L\bigl(1-\cos\theta_{\max}\bigr),
logo
\cos\theta_{\max}=1-\frac{h}{L}=1-0,20=0,80 \quad\Longrightarrow\quad \theta_{\max}=\operatorname{arccos}(0,8).

Passo 3

Para pequenas oscilações o período é
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \approx2\pi\sqrt{\frac{1}{9,8}}\approx2{,}01\text{ s},
que, arredondando, dá T=2 s.

Passo 4

A equação de movimento no regime harmônico é
\theta(t)=\theta_{\max}\cos\bigl(\omega\,t+\varphi\bigr),
com \omega=\sqrt{\tfrac{g}{L}}\approx\pi rad/s. Em t=0 temos \theta(0)=0 e
\dot\theta(0)=\frac{v_{0}}{L}=-2\\ \text{rad/s}.
Da condição \theta(0)=0 vem \cos\varphi=0, ou seja \varphi=\tfrac{\pi}{2}. Como \dot\theta(0)=-\theta_{\max}\,\omega\sin\varphi=-\theta_{\max}\,\omega deve ser -2, isso é consistente. Assim
\theta(t)=\theta_{\max}\cos\!\bigl(\pi\,t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

(a) h=0,2 m, \theta_{\max}=\operatorname{arccos}(0,8)
(b) T=2 s
(c) \theta(t)=\theta_{\max}\cos\!\bigl(\pi\,t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)

Exercícios relacionados