(*) Uma esfera sólida de 95 kg com um raio de 12 cm é suspensa por um fio vertical preso ao teto de uma sala. Um torque de magnitude 0,02 \mathrm{Nm} é necessário para girar a esfera de um ângulo de 0,85 \mathrm{rad}.
(a) Obtenha a constante de torção do fio.
\mathbf{R}: K=23,5 \times 10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{m}
(b) Qual o período da oscilação, quando a esfera é liberada dessa posição?
\mathbf{R}: T=30,3 \mathrm{~s}
(c) Qual a velocidade angular máxima que a esfera pode atingir partindo dessa posição? E qual a velocidade linear máxima que um ponto da esfera pode chegar na mesma situação?
\mathbf{R}: \Omega_{\max }=0,18 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, v_{\max }=0,021 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera sólida de massa M=95\,\mathrm{kg} e raio R=0,12\,\mathrm{m} presa por um fio que sofre torção. Precisamos de:
  1. A constante de torção K do fio a partir de \tau=K\,\theta.
  2. O momento de inércia da esfera sólida
I = \frac{2}{5} M R^2
e o período do movimento harmônico torsional
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{K}}.
  1. A velocidade angular máxima usando conservação de energia
\frac12\,K\,\theta^2 = \frac12\,I\,\omega_{\max}^2
e, em seguida, a velocidade linear máxima
v_{\max} = \omega_{\max}\,R.

Passo 2

Para achar K, usamos
\tau = K\,\theta
com \tau=0,02\,\mathrm{N\cdot m} e \theta=0,85\,\mathrm{rad}. Logo,
K = \frac{\tau}{\theta} = \frac{0,02}{0,85} \approx 2,35\times 10^{-2}\,\mathrm{N\cdot m}.

Passo 3

O momento de inércia da esfera é
I = \frac{2}{5}\,M\,R^2 = \frac{2}{5}\times95\times(0,12)^2 \approx 0,5472\,\mathrm{kg\cdot m^2}.
Então o período do movimento harmônico torsional vale
T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{K}} = 2\pi \sqrt{\frac{0,5472}{2,35\times10^{-2}}} \approx 30,3\,\mathrm{s}.

Passo 4

Pela conservação de energia entre a torção inicial e a energia cinética rotacional máxima,
\frac12\,K\,\theta^2 = \frac12\,I\,\omega_{\max}^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{\max} = \theta \sqrt{\frac{K}{I}}.
Substituindo os valores,
\omega_{\max} = 0,85 \sqrt{\frac{2,35\times10^{-2}}{0,5472}} \approx 0,18\,\mathrm{rad/s}.

Passo 5

A velocidade linear máxima num ponto da esfera é
v_{\max} = \omega_{\max}\,R = 0,18\times0,12 \approx 0,021\,\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) K \approx 2,35\times10^{-2}\,\mathrm{N\cdot m}
(b) T \approx 30,3\,\mathrm{s}
(c) \omega_{\max}\approx 0,18\,\mathrm{rad/s},\quad v_{\max}\approx 0,021\,\mathrm{m/s}

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