(**) Uma haste de comprimento
e densidade linear
é suspensa a partir de uma de suas extremidades de forma que possa oscilar como um pêndulo físico.
(a) Calcule o momento de inércia da haste em relação à extremidade.
(b) Deduza uma expressão para o período de oscilação.
(c) Considere agora que a densidade da haste possa ser não uniforme e que
é a distância entre a extremidade e o novo centro de massa. Deduza a expressão para o período de oscilação em função de
e
considerando que o momento de inércia do novo centro de massa é dado por
.
(d) Encontre a distância
que minimize o período de oscilação.
(a) Calcule o momento de inércia da haste em relação à extremidade.
Passo 1
O enunciado trata de uma haste de comprimento
e densidade linear
que oscila como um pêndulo físico em torno de uma das extremidades. Vamos precisar de:
– Cálculo de momento de inércia por integração,
– Teorema dos eixos paralelos (para eixo passando pela extremidade),
– Fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo físico
– Cálculo de momento de inércia por integração,
– Teorema dos eixos paralelos (para eixo passando pela extremidade),
– Fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo físico
onde
é o momento de inércia em relação ao pivô,
a massa total,
a aceleração da gravidade e
a distância do pivô ao centro de massa.
Passo 2
Para a haste uniforme, escolhemos um sistema de coordenadas com
na extremidade fixa e
na outra ponta. Um elemento de massa é
e seu momento de inércia em relação ao pivô vale
. Assim,
Passo 3
A massa total da haste é
e o centro de massa fica a
Substituindo
,
e
na fórmula do período,
Passo 4
Agora a densidade não é uniforme mas o centro de massa está a uma distância genérica
do pivô. A massa continua
e o momento de inércia em torno do centro de massa é dado como
Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento em torno do pivô é
Logo, o período fica
Passo 5
Para achar
que minimiza
, minimizamos o argumento do radical
Derivando e igualando a zero,
Verifica-se por segunda derivada que é mínimo.
Resposta
(a)
(b) .
(c) .
(d) .
(b)
(c)
(d)