Uma haste condutora de comprimento L e densidade de carga lambda distribuída uniformemente; é colocada paralela ao eixo vertical y de um sistema cartesiano. Os extremos da haste tem coordenadas: p1=(0,-a) e p2=(0, b), onde |a|+|b|=L. Mostre que o campo elétrico no ponto p=(x, 0) é dado pela expressão:
E(x, y)=14 pi epsilon0 lambdax[b(x^2+b^2)^1 / 2+a(x^2+a^2)^1 / 2] & ex & +14 pi epsilon0 q0 lambda[1(x^2+b^2)^1 / 2-1(x^2+a^2)^1 / 2] ey

Passo 1

Temos uma barra carregada de comprimento L=|a|+|b| ao longo do eixo y, indo de y=-a até y=+b, com densidade linear de carga lambda. Queremos o campo elétrico no ponto P=(x,0). Vamos usar a lei de Coulomb em forma contínua:
E(P)=14piepsilon0integral dQr^2,r,
onde dQ=lambda,dy', o vetor r=(x,-y') vai do elemento y' até P e r=|r|=raizx^2+y'^2.

Passo 2

Escrevendo o elemento de campo elétrico:
dE =14piepsilon0,lambda,dy'r^2,r =lambda4piepsilon0,xhat ex - y'hat ey(x^2+y'^2)^3/2,dy'
Assim separamos as componentes:
dEx=lambda,x4piepsilon0,dy'(x^2+y'^2)^3/2, dEy=-lambda,y'4piepsilon0,dy'(x^2+y'^2)^3/2

Passo 3

Integramos Ex de y'=-a a y'=b:
Ex =lambda,x4piepsilon0 integral-a^bdy'(x^2+y'^2)^3/2
Usamos a primitiva
integraldu(x^2+u^2)^3/2 =ux^2raizx^2+u^2,
de modo que
Ex =lambda,x4piepsilon0[ bx^2raizx^2+b^2 -(-a)x^2raizx^2+a^2 ] =lambda4piepsilon0,xl[braizx^2+b^2+araizx^2+a^2r]

Passo 4

Agora Ey:
Ey =-lambda4piepsilon0 integral-a^by',dy'(x^2+y'^2)^3/2
Como
integralu,du(x^2+u^2)^3/2 =-1raizx^2+u^2,
vem
Ey =lambda4piepsilon0l[ 1raizx^2+b^2 -1raizx^2+a^2 r]

Resposta

E(x,0) =14piepsilon0lambdax l[braizx^2+b^2+araizx^2+a^2r]ex +14piepsilon0lambda l[1raizx^2+b^2-1raizx^2+a^2r]ey

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