Determine o potencial elétrico no interior de uma calha de seção retangular e comprimento infinito. Considere:
l V(0, y, z)=V(b, y, z)=0 V(x, a, z)=V0 V(x, 0, z)=0

Passo 1

O enunciado pede o potencial elétrico V(x,y) numa calha de seção retangular 0<x<b, 0<y<a, infinita em z, com as condições de contorno
V(0,y)=0, V(b,y)=0, V(x,0)=0, V(x,a)=V0,
e sabendo que V independe de z. Para resolver, vamos usar a equação de Laplace em duas dimensões e o método de separação de variáveis, mais expansão em série de Fourier.

Passo 2

Assumimos solução do tipo
V(x,y)=X(x),Y(y)
Substituindo em
partial^2Vpartial x^2+partial^2Vpartial y^2=0
obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0 Longrightarrow X''X = -Y''Y = -k^2
Isso gera dois ODEs independentes:
X'' + k^2X = 0, Y'' - k^2Y = 0

Passo 3

Pela condição V(0,y)=0 e V(b,y)=0 temos X(0)=0 e X(b)=0. A solução não-trivial de
X'' + k^2X = 0, X(0)=X(b)=0
é
kn = npib, Xn(x)=sin!l(tfracnpibxr),
com n=1,2,3,dots.

Passo 4

Para cada modo n, a equação em y é
Y'' - l(tfracnpibr)^2Y = 0
cuja solução geral é
Yn(y) = Ane^(npi/b),y+Bne^-(npi/b),y
A condição V(x,0)=0 implica Yn(0)=0, logo An+Bn=0 e
Yn(y)=Cnsinh!l(tfracnpibyr)
Assim a solução geral é
V(x,y) =sumn=1^inftyCnsin!l(tfracnpibxr),sinh!l(tfracnpibyr)

Passo 5

Impondo V(x,a)=V0 para 0<x<b temos a expansão em série
V0 =sumn=1^inftyCnsin!l(tfracnpibxr),sinh!l(tfracnpibar)
Para extrair Cn, multiplicamos por sin(tfracmpibx) e integramos de 0 a b. Usando
integral0^bsin!l(tfracnpibxr)sin!l(tfracmpibxr),dx =b2de<anm,
e
integral0^bsin!l(tfracnpibxr),dx =bnpil[1-(-1)^nr],
chegamos a
Cn =2b,sinh!l(tfracnpibar) integral0^bV0,sin!l(tfracnpibxr),dx =2V0npi,sinh!l(tfracnpibar)l[1-(-1)^nr]
Note que [1-(-1)^n]=0 para n par e =2 para n ímpar. Logo só os n=2k+1 aparecem, com
C2k+1 =4V0(2k+1)pi,sinh!l(tfrac(2k+1)pibar)

Passo 6

Finalmente, restringindo a soma aos índices n=2k+1, obtemos
V(x,y) =sumk=0^infty 4V0(2k+1)pi,sinh!l(tfrac(2k+1)pibar) sin!l(tfrac(2k+1)pibxr) sinh!l(tfrac(2k+1)pibyr)

Resposta

boxed V(x,y) =sumk=0^infty 4V0(2k+1)pi,sinh!l(tfrac(2k+1)pi abr) sin!l(tfrac(2k+1)pi xbr) sinh!l(tfrac(2k+1)pi ybr)

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