Determine o potencial elétrico no interior de uma calha de seção retangular e comprimento infinito. Considere:
Passo 1
O enunciado pede o potencial elétrico
numa calha de seção retangular
,
, infinita em
, com as condições de contorno
e sabendo que
independe de
. Para resolver, vamos usar a equação de Laplace em duas dimensões e o método de separação de variáveis, mais expansão em série de Fourier.
Passo 2
Assumimos solução do tipo
Substituindo em
obtemos
Isso gera dois ODEs independentes:
Passo 3
Pela condição
e
temos
e
. A solução não-trivial de
é
com
.
Passo 4
Para cada modo
, a equação em
é
cuja solução geral é
A condição
implica
, logo
e
Assim a solução geral é
Passo 5
Impondo
para
temos a expansão em série
Para extrair
, multiplicamos por
e integramos de
a
. Usando
e
chegamos a
Note que
para
par e
para
ímpar. Logo só os
aparecem, com
Passo 6
Finalmente, restringindo a soma aos índices
, obtemos