Uma haste fina de comprimento
possui uma carga de 100 nC uniformemente distribuída e está em repouso no plano horizontal. Imediatamente a
acima do ponto médio da haste é largada uma carga pontual de massa 100 mg e ela permanece em equilíbrio no mesmo ponto. Qual é a sua carga? Considere
.
Escolha uma opção:
◯
◯ 100 nC
◯ 111 nC
◯ 111 N
◯ 157 nC
◯
◯ 100 nC
◯ 111 nC
◯ 111 N
◯ 157 nC
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Haste fina de comprimento
. - Carga total da haste
. - A haste está no plano horizontal e a carga pontual é largada imediatamente a
acima do ponto médio da haste. - Massa da carga pontual
. - A partícula permanece em equilíbrio no ponto indicado (ou seja, a força elétrica vertical sobre ela equilibra o peso).
- Aceleração da gravidade
.
O que se pede:
- Determinar a carga da partícula puntiforme (valor numérico e unidade).
Informações relevantes que vou usar (já listadas):
,
,
(distância perpendicular do ponto médio),
,
.
Passo 2
Ideia física e condição de equilíbrio (sem ainda calcular): a partícula fica em equilíbrio quando a força elétrica vertical sobre ela,
, equilibra exatamente o peso
. Assim, em módulo,
onde
é a carga da partícula (desconhecida) e
é o módulo do campo elétrico produzido pela haste no ponto a
acima do meio da haste. Vou calcular
e depois obter
.
Explicação física do sinal/direção: para uma haste positivamente carregada o campo no ponto acima do meio aponta para cima (componentes horizontais cancelam por simetria e as verticais se somam). Assim, se
o campo é para cima e uma carga positiva
receberia força para cima; essa força pode equilibrar o peso para baixo. (Se
fosse negativa, o campo estaria para baixo e a partícula equilibraria só se sua carga tivesse sinal oposto; aqui vamos usar o módulo da relação de equilíbrio.)
Passo 3
Cálculo do campo elétrico
no eixo perpendicular ao centro de uma haste carregada uniformemente.
Definições e notação:
colocamos a haste ao longo do eixo
de
a
e o ponto de interesse em
. Um elemento de comprimento
em
tem carga
. A contribuição vertical do campo desse elemento é
Pela simetria, o campo total é puramente vertical e:
Avaliaremos a integral. Usando substituição trigonométrica
(ou reconhecendo a integral conhecida), chega-se a:
Portanto, usando
,
Aqui
é o módulo do campo no ponto a distância
acima do centro da haste.
Passo 4
Substituir valores numéricos (primeiro converter unidades para SI):
-
. -
. -
. - Constante coulombiana
.
Calcule
:
Calcule o denominador
:
Agora
:
(Arredondei para três dígitos significativos.)
Passo 5
Agora uso a condição de equilíbrio
. Converter massa:
O peso
é
Logo
Converter para
(
):
Pequeno incentivo: ótimo — pouca conta e o resultado bate com uma das opções dadas.