Uma haste fina de comprimento 2,00 \mathrm{~cm} possui uma carga de 100 nC uniformemente distribuída e está em repouso no plano horizontal. Imediatamente a 1,0 \mathrm{~cm} acima do ponto médio da haste é largada uma carga pontual de massa 100 mg e ela permanece em equilíbrio no mesmo ponto. Qual é a sua carga? Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{\wedge} 2.
Escolha uma opção:
0,157 \mathrm{nC}
◯ 100 nC
◯ 111 nC
◯ 111 N
◯ 157 nC

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Haste fina de comprimento L=2,00\\ \mathrm{cm}.
  • Carga total da haste Q=100\\ \mathrm{nC}.
  • A haste está no plano horizontal e a carga pontual é largada imediatamente a 1,0\\ \mathrm{cm} acima do ponto médio da haste.
  • Massa da carga pontual m=100\\ \mathrm{mg}.
  • A partícula permanece em equilíbrio no ponto indicado (ou seja, a força elétrica vertical sobre ela equilibra o peso).
  • Aceleração da gravidade g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que se pede:
  • Determinar a carga da partícula puntiforme (valor numérico e unidade).
Informações relevantes que vou usar (já listadas): L, Q, y=1{,}0\\ \mathrm{cm} (distância perpendicular do ponto médio), m, g.

Passo 2

Ideia física e condição de equilíbrio (sem ainda calcular): a partícula fica em equilíbrio quando a força elétrica vertical sobre ela, F_{\text{el}}, equilibra exatamente o peso mg. Assim, em módulo,
q\,E = m g,
onde q é a carga da partícula (desconhecida) e E é o módulo do campo elétrico produzido pela haste no ponto a y acima do meio da haste. Vou calcular E e depois obter q = \dfrac{mg}{E}.
Explicação física do sinal/direção: para uma haste positivamente carregada o campo no ponto acima do meio aponta para cima (componentes horizontais cancelam por simetria e as verticais se somam). Assim, se Q>0 o campo é para cima e uma carga positiva q>0 receberia força para cima; essa força pode equilibrar o peso para baixo. (Se Q fosse negativa, o campo estaria para baixo e a partícula equilibraria só se sua carga tivesse sinal oposto; aqui vamos usar o módulo da relação de equilíbrio.)

Passo 3

Cálculo do campo elétrico E no eixo perpendicular ao centro de uma haste carregada uniformemente.
Definições e notação:
\lambda=\dfrac{Q}{L}\quad\text{(densidade linear de carga)},
colocamos a haste ao longo do eixo x de -L/2 a +L/2 e o ponto de interesse em (0,y). Um elemento de comprimento dx em x tem carga dq=\lambda\,dx. A contribuição vertical do campo desse elemento é
dE_y=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{dq\cdot y}{(x^2+y^2)^{3/2}} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\,\dfrac{y\,dx}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Pela simetria, o campo total é puramente vertical e:
E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\lambda\int_{-L/2}^{L/2}\dfrac{y\,dx}{(x^2+y^2)^{3/2}}.
Avaliaremos a integral. Usando substituição trigonométrica x=y\tan\theta (ou reconhecendo a integral conhecida), chega-se a:
\int_{-L/2}^{L/2}\dfrac{y\,dx}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\dfrac{L}{y\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.
Portanto, usando \lambda L=Q,
\boxed{E=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{Q}{y\sqrt{(L/2)^2+y^2}}.}
Aqui E é o módulo do campo no ponto a distância y acima do centro da haste.

Passo 4

Substituir valores numéricos (primeiro converter unidades para SI):
  • L=2{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}0200\\ \mathrm{m}.
  • Q=100\\ \mathrm{nC}=100\times10^{-9}\\ \mathrm{C}=1{,}00\times10^{-7}\\ \mathrm{C}.
  • y=1{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}0100\\ \mathrm{m}.
  • Constante coulombiana k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\simeq 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
Calcule \sqrt{(L/2)^2+y^2}:
\sqrt{(L/2)^2+y^2}=\sqrt{(0{,}0100)^2+(0{,}0100)^2} =\sqrt{2}\times0{,}0100\\ \mathrm{m}=0{,}0141421\\ \mathrm{m}.
Calcule o denominador y\sqrt{(L/2)^2+y^2}:
y\sqrt{(L/2)^2+y^2}=0{,}0100\times0{,}0141421=1{,}41421\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora E:
E=k\,\dfrac{Q}{y\sqrt{(L/2)^2+y^2}} \simeq 8{,}99\times10^{9}\times\dfrac{1{,}00\times10^{-7}}{1{,}41421\times10^{-4}}
\Rightarrow E\simeq \dfrac{8{,}99\times10^{2}}{1{,}41421\times10^{-4}} \simeq 6{,}36\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondei para três dígitos significativos.)

Passo 5

Agora uso a condição de equilíbrio qE=mg. Converter massa:
m=100\\ \mathrm{mg}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{kg}.
O peso mg é
mg=(1{,}00\times10^{-4})\cdot(10)=1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{N}.
Logo
q=\dfrac{mg}{E}=\dfrac{1{,}00\times10^{-3}}{6{,}36\times10^{6}}\\ \mathrm{C} \simeq 1{,}572\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Converter para \mathrm{nC} ( 1\\ \mathrm{nC}=10^{-9}\\ \mathrm{C}):
q\simeq 0{,}1572\times10^{-9}\\ \mathrm{C}=0{,}157\\ \mathrm{nC}\quad(\text{arredondando}).
Pequeno incentivo: ótimo — pouca conta e o resultado bate com uma das opções dadas.

Resposta

0,157\\ \mathrm{nC}

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