Questão 11)Um tronco uniforme de 103 Kg está pendurado por dois fios de aço ( E=200 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} ) A e B cujo diâmetro da seção transversal mede 2,4 \mathrm{~mm}. Inicialmente o fio A tinha 2,5 \mathrm{~m} de comprimento e era 2 mm mais curto que o fio B . O tronco está agora na horizontal. Qual o módulo da força exercida no tronco (b) pelo fio B

Passo 1

O enunciado pede: qual o módulo da força exercida pelo fio B no tronco quando o tronco está na horizontal.
Dados fornecidos no enunciado (vou escrever exatamente os números que estão no enunciado):
  • Massa do tronco: m=103\\ \mathrm{kg}.
  • Módulo de Young do aço: E=200\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}.
  • Diâmetro da seção dos fios: d_{\text{fio}}=2,4\\ \mathrm{mm}=0,0024\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento inicial do fio A: L_{A0}=2,5\\ \mathrm{m}.
  • O fio A era 2\\ \mathrm{mm}=0,002\\ \mathrm{m} mais curto que o fio B. Logo o comprimento inicial do fio B é L_{B0}=2,502\\ \mathrm{m}.
  • A figura mostra os fios A e B presos ao teto e as distâncias horizontais do centro de massa do tronco até as posições de fixação dos fios, rotuladas como d_A e d_B. Essas distâncias aparecem apenas como símbolos na figura — não há valores numéricos de d_A e d_B fornecidos no enunciado de texto.
O que precisamos para responder a pergunta:
  • Para obter o módulo da força no fio B (isto é, a tensão vertical que o fio B exerce no tronco, chamaremos T_B), vamos usar as condições de equilíbrio (força vertical total e equilíbrio de torques) e as leis elásticas dos fios (Lei de Hooke / relação de Young) quando necessário.
Observação importante (necessária para resolver numericamente): a resolução numérica final para T_B precisa dos valores de d_A e d_B. Esses dois comprimentos horizontais entre centro e pontos de suspensão são essenciais para determinar a distribuição das forças. A figura mostra d_A e d_B mas não fornece seus valores numéricos legíveis; portanto não é possível fornecer um valor numérico final para T_B sem esses números. Vou, portanto, desenvolver a resolução completa de forma didática e fornecer a fórmula final para T_B em função de d_A e d_B. Também mostro o caso especial quando d_A=d_B.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (explicando as ideias passo a passo)
  • O tronco é rígido e está na horizontal; os fios são verticais e elásticos (com comportamento linear para pequenas deformações). Cada fio, ao ser esticado, gera uma força vertical (tensão) que age sobre o tronco.
  • Denotaremos as tensões (forças de tração) nos fios por T_A e T_B.
  • Equilíbrio translacional vertical: as forças verticais para cima somadas devem igualar o peso do tronco para baixo. Assim:
T_A + T_B = mg.
  • Equilíbrio de torques (momento de forças) em relação ao centro de massa: como o tronco está horizontal e em equilíbrio, o momento de T_A em relação ao centro deve ser igual ao momento de T_B. Tomando torques positivos no mesmo sentido, obtemos:
T_A d_A = T_B d_B.
Aqui d_A e d_B são as distâncias horizontais do centro de massa do tronco até os pontos de aplicação das tensões (essas distâncias aparecem na figura rotuladas, mas sem valores numéricos).
Vou explicar por que essas duas equações bastam para encontrar T_B (independente, a princípio, das propriedades elásticas): são as equações de equilíbrio rígido do corpo. Mais abaixo veremos como a elasticidade determina o alongamento final, mas as forças em equilíbrio de um corpo rígido com duas reações verticais são determinadas geometricamente pelas distâncias e pelo peso.

Passo 3

Breve aula: relação entre Young, rigidez (constante elástica) de um fio e Lei de Hooke
  • Para um fio cilíndrico a relação linear entre força e alongamento é dada por:
T = k\,\Delta L,
onde k é a constante elástica do fio e \Delta L é o alongamento ( \Delta L = L - L_0, com L_0 comprimento inicial não deformado e L comprimento final).
  • A constante k para uma barra cilíndrica submetida à tração é:
k=\frac{AE}{L_0},
onde A é a área da seção transversal e E o módulo de Young. Aqui A para um fio de diâmetro d_{\text{fio}} é
A=\frac{\pi d_{\text{fio}}^{2}}{4}.
  • Explicando em palavras: um fio mais longo tem menor rigidez (menor k) porque o alongamento para uma dada força é proporcional ao comprimento inicial; uma seção maior ou um E maior aumenta k (tornando o fio “mais rígido”).

Passo 4

Escrever as expressões elásticas para T_A e T_B (passo a passo)
  • Denotando o comprimento final comum dos fios (quando o tronco está na posição horizontal) por L (ambos os fios têm o mesmo comprimento geométrico final porque ambos ligam o teto ao tronco que está horizontal), os alongamentos são:
\Delta L_A = L - L_{A0},\qquad \Delta L_B = L - L_{B0}.
  • As tensões vindas da elasticidade são:
T_A = \frac{A E}{L_{A0}} (L - L_{A0}), \qquad T_B = \frac{A E}{L_{B0}} (L - L_{B0}).
  • Observação didática: essas fórmulas mostram que, para um dado L, cada fio gera uma tensão proporcional ao seu alongamento e à rigidez AE/L_{0}.

Passo 5

Resolver as equações de equilíbrio (força e torque) para obter T_B em função das distâncias
  • Relembre as duas equações de equilíbrio para o tronco rígido:
T_A + T_B = mg,
T_A d_A = T_B d_B.
  • Da segunda equação isolamos T_A:
T_A = \frac{d_B}{d_A}\,T_B.
  • Substituindo na primeira:
\frac{d_B}{d_A}\,T_B + T_B = mg.
  • Fatorando T_B:
T_B\left(\frac{d_B}{d_A} + 1\right) = mg.
  • Simplificando a fração:
T_B\left(\frac{d_B + d_A}{d_A}\right) = mg.
  • Finalmente isolamos T_B:
\boxed{\,T_B = mg\,\frac{d_A}{d_A + d_B}\, }.
Comentário didático: repare que esta expressão é independente das constantes elásticas E, da área A e dos comprimentos iniciais dos fios. Isso acontece porque para um corpo rígido em equilíbrio sob duas forças verticais as componentes dessas forças são determinadas somente pelo peso e pelas posições (braços de alavanca) de aplicação — a elasticidade apenas determina quanto cada fio alongou para atingir as tensões necessárias, não altera a distribuição de forças exigida pelas equações de equilíbrio do sólido rígido.

Passo 6

Interpretação, caso especial e impossibilidade de cálculo numérico completo com os dados fornecidos
  • A fórmula obtida é a resposta analítica: \,T_B = mg\,\dfrac{d_A}{d_A + d_B}.
  • Para determinar um valor numérico de T_B é necessário conhecer os valores numéricos de d_A e d_B. Esses valores aparecem como etiquetas na figura, mas não há números legíveis para d_A e d_B no enunciado que você enviou. Portanto não é possível calcular um valor numérico definitivo para T_B sem esses comprimentos horizontais.
  • Exemplo didático (caso especial simples): se os pontos de suspensão estivessem simetricamente posicionados em relação ao centro do tronco, ou seja d_A=d_B, então
T_B = mg\,\frac{d_A}{d_A+d_A}=mg\,\frac{1}{2}=\frac{mg}{2}.
Substituindo m=103\\ \mathrm{kg} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} teria T_B=\dfrac{103\times9{,}8}{2}=504{,}7\\ \mathrm{N}. Isto é só um exemplo numérico para a configuração simétrica; não significa que essa seja a configuração do enunciado.

Passo 7

Como usar a fórmula durante a prova (dica prática)
  • Identifique sempre as distâncias horizontais do ponto onde quer tomar torques (aqui foi o centro de massa) até as linhas de ação das tensões; essas distâncias são essenciais.
  • Escreva rapidamente as duas equações de equilíbrio: soma vertical das forças e soma de momentos; elimine uma incógnita e resolva para a força desejada — muitas vezes (como aqui) a resposta não depende de detalhes elásticos.
  • Só recorra às fórmulas de elasticidade se precisarem do alongamento ou para verificar consistência; mas para as forças de reação de um corpo rígido suportado por duas reações verticais, a distribuição das forças é puramente geométrica (braços de alavanca) e pela condição de força resultante igual ao peso.

Resposta

\,T_B = mg\,\dfrac{d_A}{d_A + d_B}\,

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