Em uma região condutora:
\boldsymbol{H}=y z\left(x^{2}+y^{2}\right) \boldsymbol{a}_{x}-y^{2} x z \boldsymbol{a}_{y}+4 x^{2} y^{2} \boldsymbol{a}_{z} A / m
(a) Determine \boldsymbol{J} em (5, 2, -3)
(b) Determine a corrente que passa através de x=-1,0<y e z<2.
(c) Demostre que \operatorname{div} \boldsymbol{B}=0.

Passo 1

Vou deixar clarinho o que o enunciado pede e quais informações ele dá, sem resolver ainda.
  • O enunciado dá o campo magnético \boldsymbol{H} numa região condutora:
\boldsymbol{H}=y z\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\boldsymbol{a}_{x}-y^{2} x z\,\boldsymbol{a}_{y}+4 x^{2} y^{2}\,\boldsymbol{a}_{z}\\ \text{A/m}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar \boldsymbol{J} em (5,2,-3).
    (b) Determinar a corrente que passa através da superfície x=-1, com as condições escritas no enunciado: 0<y e z<2.
    (c) Demonstrar que \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0.
  • Observação importante sobre (b): o enunciado descreve a superfície pela equação x=-1 e dá as condições 0<y e z<2, mas NÃO especifica limites superiores para y nem limites inferiores para z. Isso torna a região de integração ambígua (pode ser ilimitada), e sem limites bem definidos não é possível obter um valor numérico finito para a corrente. Vou explicar o método e apresentar a expressão geral da integral; depois mostrarei o que ocorre se os limites forem infinitos ou se fossem dados limites finitos quaisquer.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (aula rápida e prática).
  • Em magnetostática (ou regimes onde as variações no tempo são desprezíveis), a densidade volumétrica de corrente elétrica livre \boldsymbol{J} está relacionada ao campo \boldsymbol{H} pela lei de Ampère (forma diferencial):
\boldsymbol{J}=\nabla\times\boldsymbol{H}.
Explicando: \nabla\times (ou “rotacional”) gera um vetor cujas componentes são combinações de derivadas parciais das componentes de \boldsymbol{H}. A unidade de \boldsymbol{J} é \text{A/m}^2.
  • A corrente total que atravessa uma superfície S é obtida pela integral de fluxo da densidade de corrente através da superfície:
I=\iint_{S} \boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S}.
Explicando: d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{\hat{n}}\,dS é o vetor área elementar, com \boldsymbol{\hat{n}} a normal unitária à superfície; \boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S} é a corrente que atravessa o elemento de área.
  • A relação entre \boldsymbol{B} e \boldsymbol{H} num meio linear homogêneo isotrópico é \boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}, com \mu constante (permeabilidade). Então
\nabla\cdot\boldsymbol{B}=\mu\,\nabla\cdot\boldsymbol{H}.
Em eletromagnetismo, fisicamente sempre vale \nabla\cdot\boldsymbol{B}=0; portanto a demonstração pedida em (c) pode ser feita calculando \nabla\cdot\boldsymbol{H} e verificando que é zero (assumindo \mu constante).

Passo 3

Calcular simbolicamente \boldsymbol{J}=\nabla\times\boldsymbol{H} (passo-a-passo das derivadas parciais).
Escrevendo as componentes (para facilitar as derivadas):
\begin{aligned} H_x(x,y,z) &= y z\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=y z x^{2}+y^{3} z,\\[4pt] H_y(x,y,z) &= -y^{2} x z,\\[4pt] H_z(x,y,z) &= 4 x^{2} y^{2}. \end{aligned}
A fórmula para o rotacional em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\boldsymbol{H}= \begin{vmatrix} \boldsymbol{a}_x & \boldsymbol{a}_y & \boldsymbol{a}_z\\[4pt] \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z\\[4pt] H_x & H_y & H_z \end{vmatrix},
ou seja, as componentes são:
\begin{aligned} (\nabla\times\boldsymbol{H})_x &= \frac{\partial H_z}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z},\\[6pt] (\nabla\times\boldsymbol{H})_y &= \frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x},\\[6pt] (\nabla\times\boldsymbol{H})_z &= \frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}. \end{aligned}
Agora calculo cada derivada cuidadosamente.
  • \dfrac{\partial H_z}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(4 x^{2} y^{2}\bigr)=8 x^{2} y.
  • \dfrac{\partial H_y}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(-y^{2} x z\bigr)=-y^{2} x.
Logo
(\nabla\times\boldsymbol{H})_x = 8 x^{2} y -(-y^{2} x)=8 x^{2} y + x y^{2}.
Fatorando levemente, pode-se escrever (\nabla\times\boldsymbol{H})_x = x y(8 x + y), mas manterei a forma polinomial para clareza.
  • \dfrac{\partial H_x}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}\bigl(y z(x^{2}+y^{2})\bigr)=y(x^{2}+y^{2}).
  • \dfrac{\partial H_z}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(4 x^{2} y^{2}\bigr)=8 x y^{2}.
Logo
(\nabla\times\boldsymbol{H})_y = y(x^{2}+y^{2})-8 x y^{2}=y x^{2}+y^{3}-8 x y^{2}.
  • \dfrac{\partial H_y}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(-y^{2} x z\bigr)=-y^{2} z.
  • \dfrac{\partial H_x}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(y z(x^{2}+y^{2})\bigr)=z(x^{2}+3 y^{2}) (detalhe: derivada de y(x^{2}+y^{2}) em relação a y é x^{2}+3y^{2}, e o fator z permanece).
Logo
(\nabla\times\boldsymbol{H})_z = -y^{2} z - z(x^{2}+3 y^{2}) = -z(x^{2}+4 y^{2}).
Portanto a expressão geral da densidade de corrente é
\boxed{\boldsymbol{J}=\nabla\times\boldsymbol{H}=\bigl(8 x^{2} y + x y^{2}\bigr)\,\boldsymbol{a}_x+\bigl(y x^{2}+y^{3}-8 x y^{2}\bigr)\,\boldsymbol{a}_y - z\bigl(x^{2}+4 y^{2}\bigr)\,\boldsymbol{a}_z.}
(Uma verificação rápida é checar ordens de potência e unidade: tudo polinomial e consistente com A/m^2.)]

Passo 4

Responder (a): avaliar \boldsymbol{J} em (x,y,z)=(5,2,-3) passo a passo.
Substituo x=5, y=2, z=-3 nas componentes obtidas.
  • Componente x:
(\nabla\times\boldsymbol{H})_x = 8 x^{2} y + x y^{2} = 8\cdot5^{2}\cdot2 + 5\cdot 2^{2}.
Calculo: 5^{2}=25, então 8\cdot25\cdot2=8\cdot50=400. E 5\cdot 4=20. Soma 400+20=420.
  • Componente y:
(\nabla\times\boldsymbol{H})_y = y x^{2}+y^{3}-8 x y^{2} = 2\cdot25 + 8 - 8\cdot5\cdot4.
Calculo: 2\cdot25=50, y^{3}=8, 8\cdot5\cdot4=160. Então 50+8-160=-102.
  • Componente z:
(\nabla\times\boldsymbol{H})_z = -z\bigl(x^{2}+4 y^{2}\bigr) = -(-3)\bigl(25 + 4\cdot4\bigr).
Calculo dentro: 4\cdot4=16, então 25+16=41. Fica -(-3)\cdot41=3\cdot41=123.
Portanto, em (5,2,-3):
\boxed{\boldsymbol{J}(5,2,-3)=420\,\boldsymbol{a}_x -102\,\boldsymbol{a}_y +123\,\boldsymbol{a}_z\\ \text{A/m}^2.}

Passo 5

Trabalhar (b): método para obter a corrente através da superfície x=-1 e discutir a ambiguidade do enunciado.
  • Para uma superfície plana x=\text{const}, a normal unitária pode ser escolhida como \boldsymbol{\hat{n}}=\boldsymbol{a}_x (ou -\boldsymbol{a}_x dependendo do sentido conveniente). O elemento de área é d\boldsymbol{S}=\boldsymbol{a}_x\,dy\,dz.
  • A corrente total que atravessa essa superfície é
I=\iint_{S}\boldsymbol{J}\cdot d\boldsymbol{S}=\iint_{S} J_x\,dy\,dz,
pois \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{a}_x=J_x.
  • Avalio J_x na superfície x=-1: da expressão geral,
J_x(x,y,z)=8 x^{2} y + x y^{2}.
Substituindo x=-1:
J_x(-1,y,z)=8\cdot(-1)^{2}y + (-1)\,y^{2}=8y - y^{2}.
Observe que J_x(-1,y,z) NÃO depende de z; portanto a integral em z simplesmente multiplica por uma largura em z.
  • Assim o valor da corrente é, para limites de integração em y e z bem definidos,
I=\int_{z=z_1}^{z_2}\int_{y=y_1}^{y_2}\bigl(8y-y^{2}\bigr)\,dy\,dz =(z_2-z_1)\int_{y_1}^{y_2}\bigl(8y-y^{2}\bigr)\,dy.
Faço a primitiva em y:
\int\bigl(8y-y^{2}\bigr)\,dy=4y^{2}-\frac{1}{3}y^{3}.
Logo, para limites y_1 a y_2:
\int_{y_1}^{y_2}\bigl(8y-y^{2}\bigr)\,dy= \Bigl(4y^{2}-\frac{1}{3}y^{3}\Bigr)\Big|_{y_1}^{y_2} = \Bigl(4y_2^{2}-\frac{1}{3}y_2^{3}\Bigr)-\Bigl(4y_1^{2}-\frac{1}{3}y_1^{3}\Bigr).
  • Conclusão sobre a ambiguidade: o enunciado só diz 0<y (isto é, y maior que zero) e z<2, sem limites superiores para y nem limites inferiores para z. Se interpretarmos literalmente como y\in(0,\infty) e z\in(-\infty,2), então a integral diverge (a região é ilimitada e a função 8y-y^{2} cresce negativamente para grandes y mas o produto com a extensão infinita em z leva a corrente não finita ou indefinida). Portanto NÃO É POSSÍVEL fornecer um valor numérico para a corrente sem os limites de integração completos.
  • Para ser útil, eu apresento a expressão geral do resultado caso se adotem limites finitos: se a região for y\in[y_1,y_2] com 0\le y_1<y_2 e z\in[z_1,z_2] com z_1<z_2\le 2, então
\boxed{I=(z_2-z_1)\Bigl(4y_2^{2}-\tfrac{1}{3}y_2^{3}-4y_1^{2}+\tfrac{1}{3}y_1^{3}\Bigr)\\ \text{A}.}
Exemplo prático (caso típico): se a superfície for o retângulo 0<y<Y e z_1<z<z_2 então
I=(z_2-z_1)\Bigl(4Y^{2}-\tfrac{1}{3}Y^{3}\Bigr).

Passo 6

Responder (c): demonstrar que \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 com passos detalhados.
  • Assumindo meio linear homogêneo com permeabilidade constante \mu, \boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}. Então
\nabla\cdot\boldsymbol{B}=\mu\,\nabla\cdot\boldsymbol{H}.
Basta calcular \nabla\cdot\boldsymbol{H}.
  • A divergência em coordenadas cartesianas é
\nabla\cdot\boldsymbol{H}=\frac{\partial H_x}{\partial x}+\frac{\partial H_y}{\partial y}+\frac{\partial H_z}{\partial z}.
  • Calculo cada termo (já usamos as expressões em passos anteriores):
\begin{aligned} \frac{\partial H_x}{\partial x}&=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y z (x^{2}+y^{2})\bigr)=y z\cdot 2x=2 x y z,\\[4pt] \frac{\partial H_y}{\partial y}&=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y^{2} x z\bigr)=-2 y x z=-2 x y z,\\[4pt] \frac{\partial H_z}{\partial z}&=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(4 x^{2} y^{2}\bigr)=0. \end{aligned}
  • Somando:
\nabla\cdot\boldsymbol{H}=2 x y z -2 x y z + 0=0.
Logo \nabla\cdot\boldsymbol{H}=0, e portanto (com \mu constante)
\boxed{\nabla\cdot\boldsymbol{B}=\mu\,\nabla\cdot\boldsymbol{H}=0.}
Isso conclui a demonstração pedida em (c): o campo dado satisfaz a condição \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0.]

Resposta

(a) \boldsymbol{J}(5,2,-3)=420\,\boldsymbol{a}_x-102\,\boldsymbol{a}_y+123\,\boldsymbol{a}_z\\ \text{A/m}^2
(b) Não é possível fornecer um valor numérico porque os limites de integração para y e z não foram completamente especificados. A expressão geral para a corrente através de x=-1 sobre a região y\in[y_1,y_2], z\in[z_1,z_2] é
I=(z_2-z_1)\Bigl(4y_2^{2}-\tfrac{1}{3}y_2^{3}-4y_1^{2}+\tfrac{1}{3}y_1^{3}\Bigr)\\ \text{A}.
(c) \operatorname{div}\boldsymbol{B}=0 (pois \nabla\cdot\boldsymbol{H}=0 e \boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H} com \mu constante).

Exercícios relacionados