Uma haste fina e uniforme de comprimento L=1,00 m e massa M=2,00 kg é mantida verticalmente com uma extremidade conectada em um pivô de baixo atrito ao solo e depois liberada do repouso. (a) Determine o momento de inércia da haste em relação ao pivô. (b) Qual é a sua velocidade angular omega no instante que faz um ângulo theta=30,0^circ com a vertical?
Hate:

Passo 1

Beleza, vamos recapitular. Temos uma haste fina e uniforme de comprimento e massa . Ela está presa por um pivô em uma das extremidades, começa vertical e cai girando até atingir um ângulo com a vertical.
Conteúdo:
  • Momento de inércia de um corpo rígido (aqui, haste) em relação a um eixo fixo.
  • Conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional vira energia cinética de rotação).
    O que vamos precisar:
  1. Fórmula do momento de inércia de uma haste em relação a uma extremidade: .
  2. Energia potencial e energia cinética de rotação .

Passo 2

(a) Momento de inércia da haste em relação ao pivô
Para uma haste fina e uniforme girando em torno de uma extremidade:
I ;=;13,M,L^2
Só substituir I = 13times2,00times(1,00)^2 = 23 kgcdot m^2 e :

Passo 3

(b) Velocidade angular De a M g ,De
  1. Energia potencial inicial (vertical): o centro de massa está a M g ,L2(1-costheta) = 12l(13ML^2r)omega^2 acima do pivô.
  2. Energia potencial quando faz ângulo g,12(1-costheta) = 16L,omega^2 Longrightarrow omega^2 = 3g,(1-costheta)L : o centro de massa está a omega = raiz3g,(1-costheta)L .
  3. Queda de altura:
1-cos30^circ = 1 - raiz32 approx 0,133975,
  1. A perda de omega = raiz3times9,8times0,1339751 approx raiz3,93 approx 1,98 rad/s vira energia cinética de rotação:
Substituindo e :
Cancelando e um fator :
Logo,
Agora é só pôr , e ( ):

Resposta

(a)
(b)

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