Uma haste fina e uniforme de comprimento
e massa
é mantida verticalmente com uma extremidade conectada em um pivô de baixo atrito ao solo e depois liberada do repouso. (a) Determine o momento de inércia da haste em relação ao pivô. (b) Qual é a sua velocidade angular
no instante que faz um ângulo
com a vertical?
Hate:
Hate:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular. Temos uma haste fina e uniforme de comprimento
e massa
. Ela está presa por um pivô em uma das extremidades, começa vertical e cai girando até atingir um ângulo
com a vertical.
Conteúdo:
Conteúdo:
- Momento de inércia de um corpo rígido (aqui, haste) em relação a um eixo fixo.
- Conservação de energia mecânica (energia potencial gravitacional vira energia cinética de rotação).
O que vamos precisar:
- Fórmula do momento de inércia de uma haste em relação a uma extremidade:
. - Energia potencial
e energia cinética de rotação .
Passo 2
(a) Momento de inércia da haste em relação ao pivô
Para uma haste fina e uniforme girando em torno de uma extremidade:
Para uma haste fina e uniforme girando em torno de uma extremidade:
Só substituir
e
:
Passo 3
(b) Velocidade angular
a
- Energia potencial inicial (vertical): o centro de massa está a
acima do pivô. - Energia potencial quando faz ângulo
: o centro de massa está a . - Queda de altura:
- A perda de
vira energia cinética de rotação:
Substituindo
e
:
Cancelando
e um fator
:
Logo,
Agora é só pôr
,
e
(
):
Resposta
(a)
(b)
(b)