Uma haste homogênea de comprimento
e massa
está presa por uma extremidade a uma mola cuja constante elástica é
, e que pende de um um suporte fixo. A haste pode oscilar num plano vertical e a mola está restrita a mover-se apenas para cima ou para baixo. Escreva a lagrangiana e as equações de movimento desse sistema.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma haste homogênea de massa
e comprimento
presa numa mola de constante
. A haste gira num plano vertical em torno da extremidade ligada à mola, e a mola só se move para cima e para baixo. Nossa matéria aqui é Mecânica Lagrangiana: vamos escolher coordenadas generalizadas, montar as energias cinética e potencial, formar a Lagrangiana
e aplicar as equações de Euler–Lagrange para achar as equações de movimento.
Passo 2
Escolha das coordenadas:
-
= deslocamento vertical da mola (positivo para baixo), medido a partir do ponto de equilíbrio da mola. -
= ângulo que a haste faz com a vertical (zero quando a haste está pendurada reta para baixo).
Assim o ponto de apoio da haste fica em
e o centro de massa da haste, que fica a uma distância
do apoio, tem coordenadas
Passo 3
Energia cinética
:
- Velocidade do CM:
- Então
- Energia cinética da tradução do CM:
. - Mais a rotação em torno do apoio: momento de inércia da haste em relação à extremidade é
, então .
Somando,
Passo 4
Energia potencial
:
- Gravidade do CM:
. - Mola:
.
Logo
A Lagrangiana é
Passo 5
Equações de Euler–Lagrange:
- Para
:
- Para
:
ou dividindo por
,
Resposta
Lagrangiana:
Equações de movimento: