Uma haste homogênea de comprimento 2 ell e massa m está presa por uma extremidade a uma mola cuja constante elástica é k, e que pende de um um suporte fixo. A haste pode oscilar num plano vertical e a mola está restrita a mover-se apenas para cima ou para baixo. Escreva a lagrangiana e as equações de movimento desse sistema.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma haste homogênea de massa e comprimento presa numa mola de constante . A haste gira num plano vertical em torno da extremidade ligada à mola, e a mola só se move para cima e para baixo. Nossa matéria aqui é Mecânica Lagrangiana: vamos escolher coordenadas generalizadas, montar as energias cinética e potencial, formar a Lagrangiana e aplicar as equações de Euler–Lagrange para achar as equações de movimento.

Passo 2

Escolha das coordenadas:
  • xrm cm = ellsintheta, yrm cm = x + ellcostheta, = deslocamento vertical da mola (positivo para baixo), medido a partir do ponto de equilíbrio da mola.
  • = ângulo que a haste faz com a vertical (zero quando a haste está pendurada reta para baixo).
Assim o ponto de apoio da haste fica em e o centro de massa da haste, que fica a uma distância do apoio, tem coordenadas

Passo 3

Energia cinética dot xrm cm = dot x - ellsintheta,dottheta, dot yrm cm = ellcostheta,dottheta :
  1. Velocidade do CM: vrm cm^2 = (dot x - ellsintheta,dottheta)^2 + (ellcostheta,dottheta)^2 = dot x^2 -2elldot x,dotthetasintheta + ell^2dottheta^2
  2. Então T = 12mdot x^2 - mell,dot x,dotthetasintheta + 12mell^2dottheta^2 + 12!(tfrac43mell^2)dottheta^2 = 12mdot x^2 - mell,dot x,dotthetasintheta + 76mell^2dottheta^2
  3. Energia cinética da tradução do CM: .
  4. Mais a rotação em torno do apoio: momento de inércia da haste em relação à extremidade é , então .
Somando,

Passo 4

Energia potencial V = m g,x + m gellcostheta + 12k x^2 :
  1. Gravidade do CM: L = T - V = 12mdot x^2 - mell,dot x,dotthetasintheta + 76mell^2dottheta^2 - (m g,x + m gellcostheta + tfrac12k x^2) .
  2. Mola: .
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A Lagrangiana é

Passo 5

Equações de Euler–Lagrange:
  1. Para ddt(partialLpartialdot x) - partialLpartial x = 0 ;Longrightarrow; mddot x - mell(ddotthetasintheta + dottheta^2costheta) + m g + k x = 0 :
ddt(partialLpartialdottheta) - partialLpartialtheta = 0 ;Longrightarrow; 73mell^2ddottheta - mell,ddot xsintheta - m gellsintheta = 0,
  1. Para 73,ell,ddottheta - (ddot x + g),sintheta = 0 :
ou dividindo por ,

Resposta

Lagrangiana:
boxed L = 12mdot x^2 - mell,dot x,dotthetasintheta + 76mell^2dottheta^2 - (m g,x + m gellcostheta + tfrac12k x^2)
Equações de movimento:
mddot x - mell(ddotthetasintheta + dottheta^2costheta) + m g + k x = 0,[6pt] 73mell^2ddottheta - mell,ddot xsintheta - m gellsintheta = 0

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