Uma placa homogênea retangular está suspensa por um dos vértices e pode oscilar num plano vertical coincidente com o plano da placa. Determine o período das pequenas oscilações da placa e o comprimento do pêndulo simples equivalente.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é uma placa retangular homogênea (lados T ;=; 2piraizIm,g,d e ) pendurada por um vértice, que oscila num plano vertical. O conteúdo é “pêndulo físico” e a gente vai precisar de:
  • Momento de inércia da placa em torno do vértice (teorema dos eixos paralelos);
  • Distância do pivô ao centro de massa;
  • Fórmula do período de pequenas oscilações de um pêndulo físico:

Passo 2

Primeiro, o momento de inércia em torno do centro da placa é
Irm cm ;=; m,(a^2 + b^2)12
A distância do centro ao vértice é
d ;=; raizl(tfraca2r)^2 + l(tfracb2r)^2 ;=;raiza^2 + b^22
Pelo teorema dos eixos paralelos:
Irm vacuteertice = Irm cm + m,d^2 = m(a^2 + b^2)12 + m!;a^2 + b^24 = m,(a^2 + b^2)3

Passo 3

Agora que temos
I = m,(a^2 + b^2)3 e d = raiza^2 + b^22,
basta usar a fórmula do pêndulo físico:
T = 2piraizIm,g,d =2piraizm,(a^2 + b^2)3,m,g,raiza^2 + b^22, =2piraiz2,(a^2 + b^2)3,g,raiza^2 + b^2 =2piraiz2,raiza^2 + b^23,g

Passo 4

Para encontrar o “comprimento equivalente” Lrm eq ;=;Im,d = m,(a^2 + b^2)3,m,raiza^2 + b^22, = 2,raiza^2 + b^23 de um pêndulo simples que oscila com o mesmo período, usamos

Resposta

Período das pequenas oscilações:
T ;=; 2pi,raiz2,raiza^2 + b^23,g
Comprimento do pêndulo simples equivalente:
Lrm eq ;=; 2,raiza^2 + b^23

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