Uma roda desce rolando um plano inclinado de um ângulo alpha em relação à horizontal. A roda se mantém perpendicular à superfície inclinada mas pode girar em torno do eixo normal à superfície. Encontre a solução para o movimento da roda usando o formalismo lagrangiano e a técnica dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Uma roda (de massa m e raio R, momento de inércia I) desce rolando sem deslizar num plano inclinado de ângulo α. Use Lagrange com multiplicador de Lagrange pra achar o movimento.”
Conteúdo: mecânica lagrangiana com restrição não deslizante (não holônoma linear em velocidades). Vamos precisar:
  1. Escolher coordenadas generalizadas (posição x ao longo do plano e ângulo de rotação θ).
  2. Montar energia cinética T e potencial V.
  3. Escrever a restrição sem deslizamento: .
  4. Formar Lagrangiano com multiplicador λ; derivar as equações de Euler–Lagrange; resolver para acelerações.

Passo 2

Definindo:
  • Coordenada x: deslocamento da roda ao longo do plano, medido pra baixo.
  • Coordenada θ: ângulo de rotação (positivo quando roda gira fazendo a roda avançar pra baixo).
    Energia cinética total
T = tfrac12,m,dot x^2 + tfrac12,I,dottheta^2
Energia potencial gravitacional (zero em x=0)
V = m g,x,sinalpha
Logo o Lagrangiano puro é
L = T - V = tfrac12 mdot x^2 + tfrac12 Idottheta^2 - m g,xsinalpha

Passo 3

A restrição de rolamento sem deslizamento é
dot x - R,dottheta = 0
Como ela é uma condição envolvendo velocidades, introduzimos um multiplicador λ(t) e montamos o Lagrangiano estendido
L' = L + lambda,(dot x - R,dottheta)

Passo 4

Aplicando Euler–Lagrange em x, θ e tratando λ como coordenada “extra” que impõe a restrição:
  1. Para x:
ddtl(partialdot xL'r)-partialxL' = 0 Rightarrow ddt(mdot x + lambda) + m gsinalpha = 0 ;Rightarrow; mddot x + dotlambda + m gsinalpha = 0
  1. Para θ:
ddtl(partialdotthetaL'r)-partialtheta L' = 0 Rightarrow ddt(Idottheta - lambda R) = 0 ;Rightarrow; Iddottheta - R,dotlambda = 0
  1. Para λ (que impõe a restrição):
dot x - R,dottheta = 0

Passo 5

Agora resolvemos o sistema:
a) Da restrição diferenciada vem mddot x + dotlambda + m gsinalpha = 0 Rightarrow m(R,ddottheta) + IR,ddottheta + m gsinalpha = 0 .
b) Da equação de θ: l(mR + tfracIRr)ddottheta + m gsinalpha = 0 ;Rightarrow; (mR^2 + I),ddottheta = -m g Rsinalpha .
c) Substituindo em x:
ddottheta = m g RsinalphamR^2 + I
Colocando em evidência ddot x = R,ddottheta = m g R^2sinalphamR^2 + I = gsinalpha1 + tfracImR^2 :
Escolhendo sentido positivo pra baixo, a aceleração angular fica em módulo
E a aceleração de translação

Passo 6

Pra um cilindro maciço ddot x = gsinalpha1 + tfrac12 = 23,gsinalpha, ddottheta = ddot xR = 23,gsinalphaR , dá

Resposta

A roda desce com aceleração constante
boxed ddot x = gsinalpha1 + tfracImR^2, ddottheta = gsinalphaRl(1 + tfracImR^2r)
No caso de cilindro maciço , isso vira e .

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