Uma roda desce rolando um plano inclinado de um ângulo
em relação à horizontal. A roda se mantém perpendicular à superfície inclinada mas pode girar em torno do eixo normal à superfície. Encontre a solução para o movimento da roda usando o formalismo lagrangiano e a técnica dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Uma roda (de massa m e raio R, momento de inércia I) desce rolando sem deslizar num plano inclinado de ângulo α. Use Lagrange com multiplicador de Lagrange pra achar o movimento.”
Conteúdo: mecânica lagrangiana com restrição não deslizante (não holônoma linear em velocidades). Vamos precisar:
Conteúdo: mecânica lagrangiana com restrição não deslizante (não holônoma linear em velocidades). Vamos precisar:
- Escolher coordenadas generalizadas (posição x ao longo do plano e ângulo de rotação θ).
- Montar energia cinética T e potencial V.
- Escrever a restrição sem deslizamento:
. - Formar Lagrangiano com multiplicador λ; derivar as equações de Euler–Lagrange; resolver para acelerações.
Passo 2
Definindo:
- Coordenada x: deslocamento da roda ao longo do plano, medido pra baixo.
- Coordenada θ: ângulo de rotação (positivo quando roda gira fazendo a roda avançar pra baixo).
Energia cinética total
Energia potencial gravitacional (zero em x=0)
Logo o Lagrangiano puro é
Passo 3
A restrição de rolamento sem deslizamento é
Como ela é uma condição envolvendo velocidades, introduzimos um multiplicador λ(t) e montamos o Lagrangiano estendido
Passo 4
Aplicando Euler–Lagrange em x, θ e tratando λ como coordenada “extra” que impõe a restrição:
- Para x:
- Para θ:
- Para λ (que impõe a restrição):
Passo 5
Agora resolvemos o sistema:
a) Da restrição diferenciada vem .
b) Da equação de θ: .
c) Substituindo em x:
a) Da restrição diferenciada vem
b) Da equação de θ:
c) Substituindo em x:
Colocando em evidência
:
Escolhendo sentido positivo pra baixo, a aceleração angular fica em módulo
E a aceleração de translação
Passo 6
Pra um cilindro maciço
, dá
Resposta
A roda desce com aceleração constante
No caso de cilindro maciço
, isso vira
e
.