Usando L=over<=ftrightarrowI cdot omega,(d L / d t) inercial =N e o resultado do item anterior, deduza as equações de Euler para o movimento de um corpo rígido.
Passo 1
Beleza, então o exercício tem duas partes. Primeiro, pede pra gente mostrar que, pra qualquer tensor l(dover<=ftrightarrow Tdtr)rm inercial =l(dover<=ftrightarrow Tdtr)rm corpo +boldsymbolomegatimesover<=ftrightarrow T -over<=ftrightarrow Ttimesboldsymbolomega , a derivada no referencial inercial se relaciona com a derivada no referencial do corpo girante assim:
Depois, usando e , mais esse resultado, a gente deduz as equações de Euler pro corpo rígido.
Pra isso vamos precisar de:
A relação entre matriz de rotação e velocidade angular : , onde .
Como um tensor no corpo se relaciona com o mesmo tensor no inercial: .
Passo 2
Definimos over<=ftrightarrow Trm in = A,over<=ftrightarrow Trm corpo,A^T como a matriz que leva componentes do corpo pros componentes inerciais. Então
l(dTdtr)!rm inercial =l(dTdtr)!rm corpo +Omega,T - T,Omega
Mas boldsymbolomegatimes T - Ttimesboldsymbolomega . Logo:
Voltando a chamar de e de , a gente reconhece:
E como , isso é exatamente
Passo 4
Agora vamos ao momento angular l(dIdtr)!rm inercial =0 + omegatimes I - Itimesomega .
A inércia l(d Ldtr)!rm inercial =ddt(I,omega)!rm inercial =l(dIdtr)!rm inercialomega +I,domegadt|!rm inercial é constante no corpo, logo d Ldt|rm inercial =(omegatimes I - Itimesomega),omega +I,dotomegarm inercial .
Agora, como a gente costuma escrever tudo no sistema de eixos próprios do corpo, a derivada de boxed N = I,dotboldsymbolomega +boldsymbolomegatimes(I,boldsymbolomega) ali vira N1 = I1,dotomega1 + (I3-I2),omega2,omega3, N2 = I2,dotomega2 + (I1-I3),omega3,omega1, N3 = I3,dotomega3 + (I2-I1),omega1,omega2 porque é constante no corpo. Logo:
Escrevendo com componentes (eixos principais, ):
Resposta
As equações de Euler no corpo rígido (eixos principais) são