(i) Dado um tensor arbitrário stackrelrightarrowT, prove que
(d stackrelrightarrowTd t) inercial =(d stackrelrightarrowTd t) corpo +omega times stackrelrightarrowT-stackrelrightarrowT times omega
Usando L=over<=ftrightarrowI cdot omega,(d L / d t) inercial =N e o resultado do item anterior, deduza as equações de Euler para o movimento de um corpo rígido.

Passo 1

Beleza, então o exercício tem duas partes. Primeiro, pede pra gente mostrar que, pra qualquer tensor l(dover<=ftrightarrow Tdtr)rm inercial =l(dover<=ftrightarrow Tdtr)rm corpo +boldsymbolomegatimesover<=ftrightarrow T -over<=ftrightarrow Ttimesboldsymbolomega , a derivada no referencial inercial se relaciona com a derivada no referencial do corpo girante assim:
Depois, usando e , mais esse resultado, a gente deduz as equações de Euler pro corpo rígido.
Pra isso vamos precisar de:
  1. A relação entre matriz de rotação e velocidade angular :
    , onde .
  2. Como um tensor no corpo se relaciona com o mesmo tensor no inercial:
    .

Passo 2

Definimos over<=ftrightarrow Trm in = A,over<=ftrightarrow Trm corpo,A^T como a matriz que leva componentes do corpo pros componentes inerciais. Então
dover<=ftrightarrow Trm indt =dot A,over<=ftrightarrow Trm corpo,A^T + A,dover<=ftrightarrow Trm corpodt,A^T + A,over<=ftrightarrow Trm corpo,dot A^T
Vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo (no referencial inercial):
Aqui é exatamente .

Passo 3

Sabemos da teoria de rotações que
dot A = Omega,A, dot A^T = -A^T,Omega,
onde Omegaij=-varepsilonijk,omegak é a matriz anti-simétrica associada a dover<=ftrightarrow Trm indt = Omega,A,Trm corpo,A^T + A,dTrm corpodt,A^T - A,Trm corpo,A^T,Omega :
dover<=ftrightarrow Trm indt = A,dTrm corpodt,A^T +Omega,over<=ftrightarrow Trm in -over<=ftrightarrow Trm in,Omega
Substituindo em cima:
l(dTdtr)!rm inercial =l(dTdtr)!rm corpo +Omega,T - T,Omega
Mas boldsymbolomegatimes T - Ttimesboldsymbolomega . Logo:
Voltando a chamar de e de , a gente reconhece:
E como , isso é exatamente

Passo 4

Agora vamos ao momento angular l(dIdtr)!rm inercial =0 + omegatimes I - Itimesomega .
  1. A inércia l(d Ldtr)!rm inercial =ddt(I,omega)!rm inercial =l(dIdtr)!rm inercialomega +I,domegadt|!rm inercial é constante no corpo, logo
    d Ldt|rm inercial =(omegatimes I - Itimesomega),omega +I,dotomegarm inercial .
  2. Aplico a fórmula do passo anterior com :
  1. Agora . Então
Substituindo achado acima:
Mas a força de torca é .

Passo 5

Fazendo as contas de produto vetorial:
(omegatimes I),omega = omegatimes(I,omega) = omegatimes L, (Itimesomega),omega = I(omegatimesomega)=0
Então
N = omegatimes L + I,dotomegarm inercial
Agora, como a gente costuma escrever tudo no sistema de eixos próprios do corpo, a derivada de boxed N = I,dotboldsymbolomega +boldsymbolomegatimes(I,boldsymbolomega) ali vira N1 = I1,dotomega1 + (I3-I2),omega2,omega3, N2 = I2,dotomega2 + (I1-I3),omega3,omega1, N3 = I3,dotomega3 + (I2-I1),omega1,omega2 porque é constante no corpo. Logo:
Escrevendo com componentes (eixos principais, ):

Resposta

As equações de Euler no corpo rígido (eixos principais) são
boxed N1 &= I1,dotomega1 + (I3-I2),omega2,omega3, N2 &= I2,dotomega2 + (I1-I3),omega3,omega1, N3 &= I3,dotomega3 + (I2-I1),omega1,omega2

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