Um campo elétrico de
está confinado em uma área circular de
de diâmetro e direcionado perpendicularmente para fora do plano. Se o campo está aumentando a uma taxa de
, qual é a direção e a magnitude do campo magnético
em um ponto
distante de 15 cm do centro do círculo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Campo elétrico uniforme, de módulo
, confinado numa área circular de diâmetro . - O campo elétrico está direcionado perpendicularmente para fora do plano.
- O campo elétrico está aumentando à taxa
(ou seja ). - Ponto
está a do centro do círculo.
- Campo elétrico uniforme, de módulo
- Quantidades que vou usar (convertidas para unidades SI):
- Raio do círculo:
(pois o diâmetro é ). - Posição do ponto:
. - Não foi mencionada corrente elétrica passando pela área, então vou assumir
.
- Raio do círculo:
- O que o enunciado pede:
- A direção de
no ponto . - A magnitude de
no ponto .
- A direção de
Passo 2
Qual ferramenta física usar e qual fórmula? Vou usar a forma integral da Lei de Ampère-Maxwell (a forma que inclui a corrente de deslocamento). Escrevendo-a:
Explicando cada símbolo:
-
é a circulação do campo magnético ao longo de uma curva fechada . -
é a permeabilidade do vácuo: . -
é a corrente conduzida atravessando a superfície limitada por . -
é a permissividade do vácuo: aproximadamente . -
é o fluxo elétrico através da superfície limitada por : . - O termo
corresponde ao efeito do campo elétrico variável (a famosa “corrente de deslocamento”).
Como não há corrente condutora mencionada, tomo
e a lei fica:
Passo 3
Simetria e escolha da curva
.
- Pelo enunciado o campo elétrico é perpendicular ao plano e uniformemente confinado na região circular de raio
. Isso tem simetria circular em torno do eixo central. - Pelo mesmo motivo, o campo magnético induzido terá linhas de campo circulares concêntricas ao redor do eixo (direção azimutal), com módulo constante em uma circunferência de raio
. - Assim, escolho
como a circunferência de raio centrada no mesmo eixo (a mesma circunferência que passa pelo ponto ). Então a circulação é simplesmente:
onde
é o módulo do campo magnético na distância radial
.
Passo 4
Cálculo do fluxo elétrico e da sua taxa de variação.
- O fluxo elétrico através de uma superfície circular de raio
com campo elétrico perpendicular e uniforme é
- A taxa de variação do fluxo é, já que
é fixa e o campo varia no tempo,
- Observação importante sobre o ponto
: como e , temos . Isso significa que a superfície encoberta pela curva (raio ) engloba totalmente a região onde existe o campo elétrico; portanto o fluxo elétrico “encerrado” pela curva é a flux através do disco de raio , ou seja o usado acima (não há fluxo adicional fora do disco, porque fora o campo é zero).
Passo 5
Combinar a Ampère-Maxwell com a expressão do fluxo e isolar
.
Isolando
:
Esta é a fórmula que vou avaliar numericamente para
,
e
.
Passo 6
Substituir valores numéricos passo a passo.
- Primeiro,
, , . - Produto
. Uma forma prática é usar , com . Então
- Calcular
:
- Agora o numerador
:
Calcule em etapas:
- Dividindo por
:
(Se preferir uma forma equivalente usando a expressão com
, a conta dá praticamente o mesmo valor; mantendo algarismos significativos e arredondando:)
Passo 7
Direção de
— regra prática e interpretação física.
- A equação integral deu
. Como (o campo elétrico está aumentando para fora do plano), a circulação é positiva no sentido determinado pela regra da mão direita aplicada ao vetor normal da superfície. - Como o campo elétrico aponta para fora do plano, tome o “lado de cima” como referência: apontando o polegar para fora do plano (mesmo sentido de
), os dedos indicam o sentido positivo da circulação — ou seja, os vetores circulam no sentido anti-horário quando vistos desse lado. - Resumindo:
é tangencial (azimutal), formando círculos concêntricos em torno do eixo; em o sentido é anti-horário quando visto da face de onde o campo elétrico aponta (para fora do plano).
Passo 8
Comentário final e senso físico
- O valor numérico encontrado é extremamente pequeno (
). Isso é esperado: campos magnéticos gerados por variações de campo elétrico sem correntes reais são normalmente muito fracos devido ao fator . - Se o ponto estivesse dentro do disco (
), a expressão para seria diferente: teria-se que usar a área de raio no fluxo (fluxo “encerrado” seria ), levando a . Aqui não é o caso porque .
Resposta
Direção: tangencial (azimutal), circulando em sentido anti-horário quando visto da face de onde o campo elétrico aponta para fora do plano.