Um campo elétrico de 300 \mathrm{~V} / \mathrm{m} está confinado em uma área circular de 10,00 \mathrm{~cm} de diâmetro e direcionado perpendicularmente para fora do plano. Se o campo está aumentando a uma taxa de 20 \mathrm{~V} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}), qual é a direção e a magnitude do campo magnético \vec{B} em um ponto P distante de 15 cm do centro do círculo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Campo elétrico uniforme, de módulo \,300\\ \mathrm{V/m}\,, confinado numa área circular de diâmetro \,10{,}00\\ \mathrm{cm}\,.
    • O campo elétrico está direcionado perpendicularmente para fora do plano.
    • O campo elétrico está aumentando à taxa \,20\\ \mathrm{V}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s})\; (ou seja \,dE/dt=20\\ \mathrm{V}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s})).
    • Ponto P está a \,15\\ \mathrm{cm}\, do centro do círculo.
  • Quantidades que vou usar (convertidas para unidades SI):
    • Raio do círculo: \,a=0{,}05\\ \mathrm{m}\, (pois o diâmetro é 10{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}).
    • Posição do ponto: \,r=0{,}15\\ \mathrm{m}\,.
    • Não foi mencionada corrente elétrica passando pela área, então vou assumir I_{\mathrm{enc}}=0.
  • O que o enunciado pede:
    • A direção de \vec{B} no ponto P.
    • A magnitude de \vec{B} no ponto P.

Passo 2

Qual ferramenta física usar e qual fórmula? Vou usar a forma integral da Lei de Ampère-Maxwell (a forma que inclui a corrente de deslocamento). Escrevendo-a:
\oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\mathrm{enc}}+\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt}.
Explicando cada símbolo:
  • \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell} é a circulação do campo magnético ao longo de uma curva fechada \mathcal{C}.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo: \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • I_{\mathrm{enc}} é a corrente conduzida atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}.
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo: aproximadamente \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • \Phi_{E} é o fluxo elétrico através da superfície limitada por \mathcal{C}: \Phi_{E}=\displaystyle\int \vec{E}\cdot d\vec{A}.
  • O termo \mu_{0}\varepsilon_{0}\,d\Phi_{E}/dt corresponde ao efeito do campo elétrico variável (a famosa “corrente de deslocamento”).
Como não há corrente condutora mencionada, tomo I_{\mathrm{enc}}=0 e a lei fica:
\oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt}.

Passo 3

Simetria e escolha da curva \mathcal{C}.
  • Pelo enunciado o campo elétrico é perpendicular ao plano e uniformemente confinado na região circular de raio a. Isso tem simetria circular em torno do eixo central.
  • Pelo mesmo motivo, o campo magnético induzido terá linhas de campo circulares concêntricas ao redor do eixo (direção azimutal), com módulo constante em uma circunferência de raio r.
  • Assim, escolho \mathcal{C} como a circunferência de raio r centrada no mesmo eixo (a mesma circunferência que passa pelo ponto P). Então a circulação é simplesmente:
\oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B( r)\cdot(2\pi r),
onde B(r) é o módulo do campo magnético na distância radial r.

Passo 4

Cálculo do fluxo elétrico e da sua taxa de variação.
  • O fluxo elétrico através de uma superfície circular de raio a com campo elétrico perpendicular e uniforme é
\Phi_{E}=E\cdot A=E\cdot (\pi a^{2}).
  • A taxa de variação do fluxo é, já que A é fixa e o campo varia no tempo,
\frac{d\Phi_{E}}{dt}=\pi a^{2}\,\frac{dE}{dt}.
  • Observação importante sobre o ponto P: como r=0{,}15\\ \mathrm{m} e a=0{,}05\\ \mathrm{m}, temos r>a. Isso significa que a superfície encoberta pela curva \mathcal{C} (raio r) engloba totalmente a região onde existe o campo elétrico; portanto o fluxo elétrico “encerrado” pela curva é a flux através do disco de raio a, ou seja o \pi a^{2} usado acima (não há fluxo adicional fora do disco, porque fora o campo é zero).

Passo 5

Combinar a Ampère-Maxwell com a expressão do fluxo e isolar B(r).
B(r)\cdot(2\pi r)=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\frac{d\Phi_{E}}{dt} =\mu_{0}\varepsilon_{0}\,\bigl(\pi a^{2}\bigr)\,\frac{dE}{dt}.
Isolando B(r):
B(r)=\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}}{2\pi r}\,\bigl(\pi a^{2}\bigr)\,\frac{dE}{dt} =\frac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,a^{2}}{2r}\,\frac{dE}{dt}.
Esta é a fórmula que vou avaliar numericamente para r=0{,}15\\ \mathrm{m}, a=0{,}05\\ \mathrm{m} e dE/dt=20\\ \mathrm{V}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).

Passo 6

Substituir valores numéricos passo a passo.
  • Primeiro, a=0{,}05\\ \mathrm{m}, r=0{,}15\\ \mathrm{m}, \dfrac{dE}{dt}=20\\ \mathrm{V}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).
  • Produto \mu_{0}\varepsilon_{0}. Uma forma prática é usar \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2}, com c\approx2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Então
\mu_{0}\varepsilon_{0}\approx 1{,}112650056\times10^{-17}\\ (\mathrm{SI}).
  • Calcular a^{2}:
a^{2}=(0{,}05)^{2}=0{,}0025\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora o numerador \mu_{0}\varepsilon_{0}\,a^{2}\,\dfrac{dE}{dt}:
\mu_{0}\varepsilon_{0}\,a^{2}\,\frac{dE}{dt} \approx\bigl(1{,}112650056\times10^{-17}\bigr)\times0{,}0025\times20.
Calcule em etapas:
0{,}0025\times20=0{,}05,
1{,}112650056\times10^{-17}\times0{,}05\approx1{,}74662528\times10^{-18}.
  • Dividindo por 2r=2\times0{,}15=0{,}30\\ \mathrm{m}:
B(r)\approx\frac{1{,}74662528\times10^{-18}}{0{,}30} \approx1{,}82208343\times10^{-18}\\ \mathrm{T}.
(Se preferir uma forma equivalente usando a expressão com 2\pi r, a conta dá praticamente o mesmo valor; mantendo algarismos significativos e arredondando:)
B(r)\approx 1{,}85\times10^{-18}\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Direção de \vec{B} — regra prática e interpretação física.
  • A equação integral deu \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0}\varepsilon_{0}\,d\Phi_{E}/dt. Como \dfrac{d\Phi_{E}}{dt}>0 (o campo elétrico está aumentando para fora do plano), a circulação é positiva no sentido determinado pela regra da mão direita aplicada ao vetor normal da superfície.
  • Como o campo elétrico aponta para fora do plano, tome o “lado de cima” como referência: apontando o polegar para fora do plano (mesmo sentido de \vec{E}), os dedos indicam o sentido positivo da circulação — ou seja, os vetores \vec{B} circulam no sentido anti-horário quando vistos desse lado.
  • Resumindo: \vec{B} é tangencial (azimutal), formando círculos concêntricos em torno do eixo; em P o sentido é anti-horário quando visto da face de onde o campo elétrico aponta (para fora do plano).

Passo 8

Comentário final e senso físico
  • O valor numérico encontrado é extremamente pequeno ( \sim10^{-18}\\ \mathrm{T}). Isso é esperado: campos magnéticos gerados por variações de campo elétrico sem correntes reais são normalmente muito fracos devido ao fator \mu_{0}\varepsilon_{0}=1/c^{2}.
  • Se o ponto estivesse dentro do disco ( r<a), a expressão para B(r) seria diferente: teria-se que usar a área de raio r no fluxo (fluxo “encerrado” seria \pi r^{2}E), levando a B(r)=\dfrac{\mu_{0}\varepsilon_{0}\,r}{2}\,\dfrac{dE}{dt}. Aqui não é o caso porque r>a.

Resposta

B(0{,}15\\ \mathrm{m})\approx 1{,}85\times10^{-18}\\ \mathrm{T}\newline
Direção: tangencial (azimutal), circulando em sentido anti-horário quando visto da face de onde o campo elétrico aponta para fora do plano.

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