Uma haste de um metro balançando de uma das extremidades oscila com uma frequência f_{0}. Qual seria a frequência, em termos de f_{0}, se a metade inferior da haste fosse cortada?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo abaixo foi entendido como parte do enunciado):
  • Uma haste homogênea e retilínea de comprimento \,1\\ \text{m}\, está presa e oscila em torno de uma das extremidades; sua frequência de pequenas oscilações é \,f_{0}\,.
  • A operação proposta: cortar a metade inferior da haste (isto é, remover a metade mais distante da extremidade presa), ficando a haste com metade do comprimento original.
  • Pergunta: qual será a nova frequência de oscilação em termos de \,f_{0}\,?
  • Assumo que a haste é homogênea (densidade linear constante) e que as oscilações são pequenas (regime de pêndulo físico linearizado).

Passo 2

Conceito básico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): para um pêndulo físico realizando pequenas oscilações, a equação linearizada do movimento angular é
I\,\ddot\theta + m g d\,\theta = 0,
onde:
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (a extremidade presa);
  • m é a massa total da haste;
  • g é a aceleração da gravidade;
  • d é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa da haste;
  • \theta(t) é o pequeno ângulo de deslocamento.
    Dessa equação obtemos a pulsação angular natural (quadrado)
\omega^{2}=\frac{m g d}{I}.
A frequência (em hertz) é \,f=\dfrac{\omega}{2\pi}\,. Essa fórmula é fundamental: torque restaurador \approx -m g d\,\theta; torque = I\ddot\theta; daí a equação de NP simples.

Passo 3

Calcular d e I para uma haste homogênea de comprimento L presa numa extremidade.
Centro de massa:
  • Para uma haste homogênea, o centro de massa fica no ponto médio. Logo
d=\frac{L}{2}.
Momento de inércia em relação à extremidade:
  • Tomando uma densidade linear \lambda=\dfrac{m}{L} e um elemento de massa \mathrm{d}m=\lambda\,\mathrm{d}x a distância x da extremidade, tem-se
I=\int_{0}^{L} x^{2}\,\mathrm{d}m=\lambda\int_{0}^{L} x^{2}\,\mathrm{d}x=\frac{m}{L}\cdot\frac{L^{3}}{3}=\frac{1}{3}mL^{2}.
Portanto
I=\frac{1}{3}mL^{2}.

Passo 4

Substituir d e I na expressão de \omega^{2}:
\omega^{2}=\frac{m g (L/2)}{(1/3)mL^{2}}=\frac{g\,L/2}{(1/3)L^{2}}=\frac{3g}{2L}.
Logo a pulsação é
\omega=\sqrt{\frac{3g}{2L}},
e a frequência é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3g}{2L}}.
Observe um ponto importante: a massa m cancelou — a frequência depende de L (e de g), não diretamente de m.

Passo 5

Aplicar ao caso inicial e ao caso com metade do comprimento. Denotando L_{1} o comprimento inicial e L_{2} o comprimento após cortar:
  • Para a haste inteira: L_{1}=1 (unidade: metro) e a frequência dada é \,f_{0}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{2L_{1}}}.
  • Após cortar a metade distante, a nova haste tem comprimento L_{2}=\dfrac{L_{1}}{2}=\dfrac{1}{2}. A nova frequência é
f_{\text{nova}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{3g}{2L_{2}}}.

Passo 6

Fazer a razão entre as frequências para eliminar constantes:
\frac{f_{\text{nova}}}{f_{0}} = \frac{\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{2L_{2}}}}{\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{3g}{2L_{1}}}} = \sqrt{\frac{L_{1}}{L_{2}}}.
Como L_{2}=\dfrac{L_{1}}{2}, tem-se
\frac{f_{\text{nova}}}{f_{0}}=\sqrt{\frac{L_{1}}{L_{1}/2}}=\sqrt{2}.
Portanto
f_{\text{nova}}=\sqrt{2}\,f_{0}.

Resposta

f=\sqrt{2}\,f_{0}

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