Uma haste de um metro balançando de uma das extremidades oscila com uma frequência
. Qual seria a frequência, em termos de
, se a metade inferior da haste fosse cortada?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo abaixo foi entendido como parte do enunciado):
- Uma haste homogênea e retilínea de comprimento
está presa e oscila em torno de uma das extremidades; sua frequência de pequenas oscilações é . - A operação proposta: cortar a metade inferior da haste (isto é, remover a metade mais distante da extremidade presa), ficando a haste com metade do comprimento original.
- Pergunta: qual será a nova frequência de oscilação em termos de
? - Assumo que a haste é homogênea (densidade linear constante) e que as oscilações são pequenas (regime de pêndulo físico linearizado).
Passo 2
Conceito básico e fórmula que vamos usar (aulas rápidas): para um pêndulo físico realizando pequenas oscilações, a equação linearizada do movimento angular é
onde:
-
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (a extremidade presa); -
é a massa total da haste; -
é a aceleração da gravidade; -
é a distância entre o eixo de rotação e o centro de massa da haste; -
é o pequeno ângulo de deslocamento.
Dessa equação obtemos a pulsação angular natural (quadrado)
A frequência (em hertz) é
. Essa fórmula é fundamental: torque restaurador
; torque =
; daí a equação de NP simples.
Passo 3
Calcular
e
para uma haste homogênea de comprimento
presa numa extremidade.
Centro de massa:
- Para uma haste homogênea, o centro de massa fica no ponto médio. Logo
Momento de inércia em relação à extremidade:
- Tomando uma densidade linear
e um elemento de massa a distância da extremidade, tem-se
Portanto
Passo 4
Substituir
e
na expressão de
:
Logo a pulsação é
e a frequência é
Observe um ponto importante: a massa
cancelou — a frequência depende de
(e de
), não diretamente de
.
Passo 5
Aplicar ao caso inicial e ao caso com metade do comprimento. Denotando
o comprimento inicial e
o comprimento após cortar:
- Para a haste inteira:
(unidade: metro) e a frequência dada é . - Após cortar a metade distante, a nova haste tem comprimento
. A nova frequência é
Passo 6
Fazer a razão entre as frequências para eliminar constantes:
Como
, tem-se
Portanto