Um pêndulo é formado prendendo-se uma haste longa e fina de comprimento L e massa m em um dado ponto, que está a uma distância d acima do centro da haste. (a) Ache o período deste pêndulo em termos de d, m, L e g, considerando-se que oscile com uma pequena amplitude. O que acontece ao período, se (b) d é reduzido, (c) L é aumentado ou (d) m é aumentada?
Passo 1
O enunciado dá:
Uma haste longa e fina, de comprimento L e massa m.
A haste é presa em um ponto que está a uma distância d acima do centro da haste (logo a distância do ponto de suspensão até o centro de massa é d).
Considerar oscilações de pequena amplitude (pequeno ângulo).
O que é pedido:
(a) Achar o período do pêndulo em termos de d,\;m,\;L e g, para pequenas amplitudes.
(b) Dizer o que acontece com o período se d for reduzido.
(c) Dizer o que acontece com o período se L for aumentado.
(d) Dizer o que acontece com o período se m for aumentado.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (cada item com explicação):
Torque restaurador: para pequenas rotações \theta (medida em radianos) a força peso atua no centro de massa e produz um torque \tau em relação ao ponto de suspensão. A magnitude do torque é \tau = m g d \sin\theta. O sinal é negativo para indicar que é restaurador, então \tau = - m g d \sin\theta.
Aqui m é a massa da haste, g é a aceleração da gravidade, d é a distância do pivô ao centro de massa e \theta é o ângulo de deflexão.
Aproximação de pequeno ângulo: para |\theta| pequeno, \sin\theta \approx \theta. Isso transforma o torque em \tau \approx - m g d\,\theta.
Segunda lei da rotação (análogo a F=ma para rotações): \tau = I\,\alpha, onde I é o momento de inércia da haste em relação ao ponto de suspensão e \alpha=\ddot\theta é a aceleração angular.
Combinando: I\,\ddot\theta = - m g d\,\theta.
Momento de inércia da haste em relação ao seu centro (eixo perpendicular à haste no centro): é conhecido e pode ser deduzido por integração:
I_{\text{cm}} = \frac{1}{12}\,m L^{2}.
Breve justificação por integral rápida: tomar a haste ao longo de x\in[-L/2,\,L/2] com densidade linear \lambda=m/L. Então
Teorema dos eixos paralelos (Steiner): se o momento de inércia em torno do centro de massa é I_{\text{cm}} e se deslocamos o eixo para um ponto a distância d do centro, o momento de inércia em relação ao novo eixo é
I = I_{\text{cm}} + m d^{2}.
Passo 3
Calcular o momento de inércia da haste em relação ao ponto de suspensão:
Usando I_{\text{cm}}=\dfrac{1}{12}mL^{2} e o teorema dos eixos paralelos,
I = \frac{1}{12}\,mL^{2} + m d^{2} = m\!\left(\frac{L^{2}}{12} + d^{2}\right).
Expliquei cada termo: \frac{1}{12}mL^{2} vem da distribuição de massa ao redor do centro; m d^{2} é o acréscimo por deslocar o eixo para a distância d.
Passo 4
Montar a equação do movimento angular para pequenas oscilações:
Torque aproximado: \tau \approx - m g d\,\theta.
Aplicando \tau = I\ddot\theta:
I\,\ddot\theta = - m g d\,\theta.
Substituindo I obtido no passo anterior:
m\!\left(\frac{L^{2}}{12} + d^{2}\right)\ddot\theta = - m g d\,\theta.
Podemos dividir ambos os lados por m (desde que m\neq0):
\left(\frac{L^{2}}{12} + d^{2}\right)\ddot\theta + g d\,\theta = 0.
Passo 5
Reconhecer que esta é a equação de um oscilador harmônico simples para \theta(t):
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\dfrac{L^{2}}{12}+d^{2}}{g d}}.
Observação importante: notou-se que m cancelou-se na equação; portanto o período não depende de m.
Passo 6
Responder qualitativamente as perguntas (b), (c) e (d), com justificativa curta:
(b) Se d é reduzido: olhando para
T(d)=2\pi\sqrt{\frac{d^{2}+\tfrac{L^{2}}{12}}{g d}}=2\pi\sqrt{\frac{d}{g}+\frac{L^{2}}{12 g d}},
quando d diminui o termo \dfrac{L^{2}}{12 g d} cresce e o termo \dfrac{d}{g} diminui, mas globalmente T aumenta. Em particular, quando d\to0 o período tende a infinito (T\to\infty), porque o torque restaurador m g d fica muito pequeno.
(c) Se L é aumentado: L aparece no numerador dentro da raiz por meio de \tfrac{L^{2}}{12}; aumentando L aumenta o momento de inércia e, portanto, aumenta T. Intuição: haste mais longa demora mais para oscilar.
(d) Se m é aumentado: o fator m cancelou na expressão final de T, então T é independente de m; aumentar a massa não altera o período (para o mesmo L e d).
Resposta
T = 2\pi \sqrt{\frac{\dfrac{L^{2}}{12}+d^{2}}{g d}}.
(b) Ao reduzir d, o período T aumenta (e T\to\infty quando d\to0).
(c) Ao aumentar L, o período T aumenta.
(d) Ao aumentar m, o período T não muda (é independente de m).