Uma haste tem comprimento L=2 \mathrm{~m} e distribuição de massa dada por \rho(x)=\frac{d m}{d x}=\lambda_{0}\left(1+\frac{x}{L}\right), sendo x a distância de um ponto qualquer à extremidade esquerda da haste, e \lambda_{0}=0.25 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}. Determine a posição (ponto de sustentação) em que um fio deve ser amarrado sobre a haste a fim de suspendê-la fixa em uma posição horizontal, sem girar. Encontre também a tensão resultante no fio.

Passo 1

Temos uma haste de comprimento L=2,m com densidade linear \rho(x)=\lambda_{0}\bigl(1+\frac{x}{L}\bigr), onde x mede a distância a partir da extremidade esquerda. Para mantê-la em equilíbrio horizontal sem giro, o fio deve passar pelo centro de massa da haste. Vamos então:
  1. calcular a massa total M,
  2. determinar a posição do centro de massa x_{\mathrm{cm}},
  3. concluir a posição do fio e
  4. achar a tensão T necessária (que equivale ao peso Mg).

Passo 2

Calcular a massa total
M \;=\;\int_{0}^{L}\rho(x)\,dx \;=\;\lambda_{0}\int_{0}^{L}\Bigl(1+\frac{x}{L}\Bigr)\,dx \;=\;\lambda_{0}\Bigl[L+\frac{L}{2}\Bigr] \;=\;\frac{3}{2}\,\lambda_{0}L.
Substituindo \lambda_{0}=0.25,kg/m e L=2,m,
M=\frac{3}{2}\times0.25\times2=0.75\text{ kg}.

Passo 3

Calcular o centro de massa
x_{\mathrm{cm}} \;=\;\frac{1}{M}\int_{0}^{L}x\,\rho(x)\,dx \;=\;\frac{1}{M}\,\lambda_{0}\int_{0}^{L}x\Bigl(1+\frac{x}{L}\Bigr)\,dx \;=\;\frac{\lambda_{0}}{M}\Bigl[\frac{L^{2}}{2}+\frac{L^{2}}{3}\Bigr] \;=\;\frac{\lambda_{0}}{M}\,\frac{5L^{2}}{6}.
Usando M=\tfrac{3}{2}\lambda_{0}L,
x_{\mathrm{cm}} =\frac{\frac{5}{6}\,\lambda_{0}L^{2}}{\frac{3}{2}\,\lambda_{0}L} =\frac{5L}{9} \;\approx\;\frac{5\times2}{9}=1{,}11\text{ m}.

Passo 4

Em equilíbrio, o fio deve se fixar justamente em x=x_{\mathrm{cm}}, pois assim o momento da força peso em relação ao ponto de suspensão é zero e não há tendência a girar. Logo, o ponto de amarração fica a 1{,}11 m da extremidade esquerda.

Passo 5

A única força vertical que sustenta a haste é a tensão T do fio, que deve equilibrar o peso da haste:
T = M\,g.
Tomando g=9{,}81,m/s ^2 e M=0{,}75,kg,
T = 0{,}75\times9{,}81\approx7{,}36\text{ N}.

Resposta

A posição do fio é x=1{,}11,m a partir da extremidade esquerda da haste.
A tensão no fio vale T\approx7{,}36,N.

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