Heliómetro de Fourier - medindo T_{\odot} com condução e radiação. Você constrói um “heliómetro de Fourier”: um painel plano quadrado, de frente negra fosca (absorvidade \alpha=0,95 e emissividade \varepsilon=0,95 ), feito de um compósito de condutividade térmica k=0,50 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) e espessura L=2,00 \mathrm{~cm}. A face posterior do painel está em contato perfeito com um reservatório grande de gelo + água a 0,0^{\circ} \mathrm{C}; as bordas são bem isoladas. Ao meiodia, com o Sol a pino e céu limpo, a temperatura do ar é 30,0^{\circ} \mathrm{C} e um termopar lê na superfície frontal do painel 48,0^{\circ} \mathrm{C}. Despreze convecção e quaisquer reflexões além de \alpha.
Dados úteis: constante de Stefan-Boltzmann \sigma=5,670 \times 10^{-8} \mathrm{Wm}^{-2} \mathrm{~K}^{-4}; raio solar R_{\odot}= 6,96 \times 10^{8} \mathrm{~m}; distância Sol-Terra d=1,496 \times 10^{11} \mathrm{~m}; calor latente de fusão do gelo L_{f}=3,34 \times 10^{5} \mathrm{~J} / \mathrm{kg}. Tarefas:
(a) Usando Fourier (condução unidimensional no estado estacionário), calcule o fluxo de calor que atravessa o painel, q_{\text {cond }}\left(\mathrm{em} \mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right).
(b) Faça o balanço local de energia na superfície frontal: \alpha S=\varepsilon \sigma\left(T_{s}^{4}-T_{a}^{4}\right)+q_{\text {cond }}, onde S é a irradiância solar no topo (local) e T_{s}, T_{a} estão em kelvins. Encontre S.
(c) A partir de S, estime a temperatura efetiva da superfície do Sol usando S=\sigma T_{\odot}^{4}\left(\frac{R_{\odot}}{d}\right)^{2}. Calcule T_{\odot}.
(d) Se a área do painel for A=0,060 \mathrm{~m}^{2}, qual a massa de gelo derretida em 10,0 min no reservató-
rio?

Passo 1

O problema descreve um painel plano de espessura L=2{,}00\:\mathrm{cm} e condutividade térmica k=0{,}50\:\mathrm{W/(mK)}. A face frontal tem absorvidade \alpha=0{,}95 e emissividade \varepsilon=0{,}95, está exposta ao Sol com temperatura de ar T_a=30{^\circ\!}\mathrm{C} e mede T_s=48{^\circ\!}\mathrm{C}. A face de trás está a 0{^\circ\!}\mathrm{C} em contato com gelo. Bordas isoladas, regime estacionário.
Conteúdos necessários: condução unidimensional (lei de Fourier), balanço radiativo de Stefan–Boltzmann e relação entre irradiância solar e temperatura efetiva do Sol.

Passo 2

Pela lei de Fourier unidimensional no estado estacionário, o fluxo condutivo é
q_{\mathrm{cond}} = k\,\frac{T_s - T_b}{L}.
Aqui T_s=48{^\circ\!}\mathrm{C} e T_b=0{^\circ\!}\mathrm{C} dão \Delta T=48\:\mathrm{K}. Com k=0{,}50\:\mathrm{W/(mK)} e L=0{,}02\:\mathrm{m},
q_{\mathrm{cond}} = 0{,}50 \times \frac{48}{0{,}02} = 1200\:\mathrm{W/m^2}.

Passo 3

Balanço de energia na face frontal:
\alpha S = \varepsilon\,\sigma\bigl(T_s^4 - T_a^4\bigr) + q_{\mathrm{cond}}.
Transformando para kelvins: T_s=321{,}15\:\mathrm{K},\,T_a=303{,}15\:\mathrm{K}. O termo radiativo vale
\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4 - T_a^4) =0{,}95\times5{,}67\times10^{-8}\,(321{,}15^4 -303{,}15^4) \approx118{,}3\:\mathrm{W/m^2}.
Logo
\alpha S =118{,}3 +1200 =1318{,}3\:\mathrm{W/m^2} \quad\Longrightarrow\quad S =\frac{1318{,}3}{0{,}95}\approx1388\:\mathrm{W/m^2}.

Passo 4

A irradiância observada relaciona-se a T_{\odot} por
S = \sigma\,T_{\odot}^4\!\biggl(\frac{R_{\odot}}{d}\biggr)^{2}.
Com \tfrac{R_{\odot}}{d}\approx4{,}655\times10^{-3},
T_{\odot} =\Bigl[\frac{S}{\sigma\,(R_{\odot}/d)^2}\Bigr]^{1/4} \approx5800\:\mathrm{K}.

Passo 5

Em t=10{,}0\:\mathrm{min}=600\:\mathrm{s}, a energia conduzida é
Q = q_{\mathrm{cond}}\,A\,t = 1200\times0{,}060\times600 = 43200\:\mathrm{J}.
A massa de gelo derretida é
m = \frac{Q}{L_f} = \frac{43200}{3{,}34\times10^{5}} \approx0{,}13\:\mathrm{kg}.

Resposta

(a) q_{\mathrm{cond}}\approx1200\:\mathrm{W/m^2}.
(b) S\approx1388\:\mathrm{W/m^2}.
(c) T_{\odot}\approx5800\:\mathrm{K}.
(d) m\approx0{,}13\:\mathrm{kg}.

Exercícios relacionados