Hidrogênio está armazenado a 2 atm em um cilindro com:
- Diâmetro interno: 40 mm
- Espessura: 5 mm
- Altura:
O ambiente externo contém 0,00005% de
.
Dados:
Pede-se:
Taxa mássica de
que sai do cilindro por difusão.
Fórmulas
Difusão cilíndrica:
Lei de Henry:
Taxa mássica de
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Geometria do cilindro (peguei do enunciado):
- Diâmetro interno:
. - Espessura da parede:
. - Altura (comprimento) do cilindro:
.
- Diâmetro interno:
-
Pressões e concentrações (peguei do enunciado):
- Pressão interna de
: . - Concentração de
no ambiente externo: (isto é a fração molar no ar).
- Pressão interna de
-
Propriedades fornecidas (peguei do enunciado):
- Coeficiente de difusão:
. - Constante de Henry:
.
- Coeficiente de difusão:
-
Fórmula fornecida (usaremos exatamente ela):
- Difusão cilíndrica (molar):
- Lei de Henry:
- Difusão cilíndrica (molar):
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a taxa mássica de
que sai do cilindro por difusão (ou seja, a vazão mássica em unidades de massa por tempo).
- Calcular a taxa mássica de
Observação (assunção necessária): o enunciado não deu explicitamente a pressão atmosférica externa; adoto a hipótese padrão de que a pressão total do ambiente é
. Com isso a pressão parcial externa de
será a fração molar vezes
.
Passo 2
Breve explicação das fórmulas que vamos usar (aula curta e intuitiva).
-
Lei de Henry: diz que, em equilíbrio, a concentração dissolvida (ou aqui a concentração associada ao gás em contato com um material) é proporcional à pressão parcial do gás:onde
é a concentração do componente (aqui em ), é a constante de Henry ( ) e é a pressão parcial em . Explicação: maior pressão → maior “força” pra empurrar moléculas na fase sólida/parede, proporcional por . -
Difusão cilíndrica (equação dada): considera escoamento difusivo radial através da parede cilíndrica entre raio interno
e externo , para um comprimento . A equação que dá a vazão molar total (unidade: ) é Aquié o coeficiente de difusão (em após converter), e são as concentrações nas superfícies interna e externa (em ), é o comprimento do cilindro (em ), e o denominador aparece por causa da geometria radial (contraste com o caso plano, que teria diferença de espessura no denominador). -
Depois de obter
(vazão molar, ), convertemos para vazão mássica usando a massa molar do : onde.
Passo 3
Conversões de unidades e cálculo das quantidades geométricas e de pressão parcial externa.
- Converter diâmetro interno e espessura para metros e obter raios:
-
Altura
(já em metros): -
Converter
para : Como, então -
Fração molar externa de
: Assumindo pressão total ambiente, a pressão parcial externa é -
Pressão parcial interna (dentro do cilindro) — dado:
Passo 4
Calcular concentrações internas e externas usando a lei de Henry.
-
Usando
com :
- Diferença de concentrações:
(vamos usar para arredondamento prático, pois é desprezível diante de ).
Passo 5
Calcular o termo geométrico
.
Passo 6
Calcular a vazão molar
usando a equação de difusão cilíndrica (substituições passo a passo).
A fórmula:
Substituindo números (mantendo unidades compatíveis):
Agora o numerador:
Calculemos em etapas:
Dividindo pelo
:
Arredondando com sentido prático:
Passo 7
Converter vazão molar
em vazão mássica
.
-
Massa molar do
: -
Então
Cálculo:
Em unidades mais familiares (gramas por segundo):
Arredondando de forma coerente com dados dados:
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo:
- O valor encontrado é pequeno (da ordem de
), ou cerca de . Isso significa que, por difusão através da parede com os parâmetros dados e essa diferença enorme de pressões, a perda é pequena, mas não nula. - Se for preciso, pode-se transformar para
multiplicando por ; com este valor daria aproximadamente . (Só um complemento, não alterei o resultado final.)