Hidrogênio está armazenado a 2 atm em um cilindro com:
  • Diâmetro interno: 40 mm
  • Espessura: 5 mm
  • Altura: 1,6 \mathrm{~m}
O ambiente externo contém 0,00005% de \mathbf{H}_{\mathbf{2}}.
Dados:
D_{A B}=1,8 \times 10^{-5} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}
S=160 \mathrm{kmol} /\left(m^{3} \cdot a t m\right)
Pede-se:
Taxa mássica de \mathrm{H}_{2} que sai do cilindro por difusão.

Fórmulas

Difusão cilíndrica:
J_{A}=\frac{2 \pi L D_{A B}\left(C_{A 1}-C_{A 2}\right)}{\ln \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)}
Lei de Henry:
C_{A}=S \cdot P_{A}

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Geometria do cilindro (peguei do enunciado):
    • Diâmetro interno: 40\\ \mathrm{mm}.
    • Espessura da parede: 5\\ \mathrm{mm}.
    • Altura (comprimento) do cilindro: 1{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Pressões e concentrações (peguei do enunciado):
    • Pressão interna de \mathrm{H}_2: 2\\ \mathrm{atm}.
    • Concentração de \mathrm{H}_2 no ambiente externo: 0{,}00005\% (isto é a fração molar no ar).
  • Propriedades fornecidas (peguei do enunciado):
    • Coeficiente de difusão: D_{AB}=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
    • Constante de Henry: S=160\\ \mathrm{kmol}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{atm}).
  • Fórmula fornecida (usaremos exatamente ela):
    • Difusão cilíndrica (molar): J_A=\frac{2\pi L D_{AB}\left(C_{A1}-C_{A2}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}
    • Lei de Henry: C_A = S\cdot P_A
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a taxa mássica de \mathrm{H}_2 que sai do cilindro por difusão (ou seja, a vazão mássica \dot{m} em unidades de massa por tempo).
Observação (assunção necessária): o enunciado não deu explicitamente a pressão atmosférica externa; adoto a hipótese padrão de que a pressão total do ambiente é 1\\ \mathrm{atm}. Com isso a pressão parcial externa de \mathrm{H}_2 será a fração molar vezes 1\\ \mathrm{atm}.

Passo 2

Breve explicação das fórmulas que vamos usar (aula curta e intuitiva).
  • Lei de Henry: diz que, em equilíbrio, a concentração dissolvida (ou aqui a concentração associada ao gás em contato com um material) é proporcional à pressão parcial do gás:
    C_A = S\cdot P_A,
    onde C_A é a concentração do componente A (aqui em \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3), S é a constante de Henry ( \mathrm{kmol}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{atm})) e P_A é a pressão parcial em \mathrm{atm}. Explicação: maior pressão → maior “força” pra empurrar moléculas na fase sólida/parede, proporcional por S.
  • Difusão cilíndrica (equação dada): considera escoamento difusivo radial através da parede cilíndrica entre raio interno r_1 e externo r_2, para um comprimento L. A equação que dá a vazão molar total J_A (unidade: \mathrm{kmol}/\mathrm{s}) é
    J_A=\frac{2\pi L D_{AB}\left(C_{A1}-C_{A2}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
    Aqui D_{AB} é o coeficiente de difusão (em \mathrm{m}^2/\mathrm{s} após converter), C_{A1} e C_{A2} são as concentrações nas superfícies interna e externa (em \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3), L é o comprimento do cilindro (em \mathrm{m}), e o denominador \ln(r_2/r_1) aparece por causa da geometria radial (contraste com o caso plano, que teria diferença de espessura no denominador).
  • Depois de obter J_A (vazão molar, \mathrm{kmol}/\mathrm{s}), convertemos para vazão mássica \dot{m} usando a massa molar do \mathrm{H}_2:
    \dot{m} = J_A\cdot M_{H_2},
    onde M_{H_2}=2{,}016\\ \mathrm{kg}/\mathrm{kmol}.

Passo 3

Conversões de unidades e cálculo das quantidades geométricas e de pressão parcial externa.
  • Converter diâmetro interno e espessura para metros e obter raios: \text{diâmetro interno}=40\\ \mathrm{mm}=0{,}040\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r_1=\frac{0{,}040}{2}=0{,}020\\ \mathrm{m}.â
\text{espessura}=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad r_2=r_1+0{,}005=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Altura L (já em metros):
    L=1{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Converter D_{AB} para \mathrm{m}^2/\mathrm{s}:
    D_{AB}=1{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
    Como 1\\ \mathrm{cm}^2=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2, então
    D_{AB}=1{,}8\times10^{-5}\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}=1{,}8\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Fração molar externa de \mathrm{H}_2:
    y_{ext}=0{,}00005\%=0{,}0000005\\ \text{(fração)}.çã
    Assumindo pressão total ambiente P_{tot}=1\\ \mathrm{atm}, a pressão parcial externa é
    P_{A2}=y_{ext}\cdot P_{tot}=0{,}0000005\times1\\ \mathrm{atm}=5\times10^{-7}\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão parcial interna (dentro do cilindro) — dado:
    P_{A1}=2\\ \mathrm{atm}.

Passo 4

Calcular concentrações internas e externas usando a lei de Henry.
  • Usando C_A=S\cdot P_A com S=160\\ \mathrm{kmol}/(\mathrm{m}^3\cdot\mathrm{atm}):
    C_{A1}=S\cdot P_{A1}=160\times2=320\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3.
C_{A2}=S\cdot P_{A2}=160\times5\times10^{-7}=160\times5\cdot10^{-7}=800\cdot10^{-7}=8\times10^{-5}\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3.
  • Diferença de concentrações: C_{A1}-C_{A2}=320-8\times10^{-5}\approx319{,}99992\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3\approx320\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3(vamos usar 320 para arredondamento prático, pois C_{A2} é desprezível diante de C_{A1}).

Passo 5

Calcular o termo geométrico \ln(r_2/r_1).
\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{0{,}025}{0{,}020}\right)=\ln(1{,}25)\approx0{,}22314355.

Passo 6

Calcular a vazão molar J_A usando a equação de difusão cilíndrica (substituições passo a passo).
A fórmula:
J_A=\frac{2\pi L D_{AB}\left(C_{A1}-C_{A2}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
Substituindo números (mantendo unidades compatíveis):
\begin{aligned} 2\pi L &=2\pi\times1{,}6\\ \mathrm{m}=6{,}2831853\times1{,}6=10{,}053096\\ \mathrm{m},\\[4pt] D_{AB}&=1{,}8\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s},\\[4pt] C_{A1}-C_{A2}&\approx320\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{m}^3,\\[4pt] \ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)&\approx0{,}22314355. \end{aligned}
Agora o numerador:
2\pi L D_{AB}\left(C_{A1}-C_{A2}\right)=10{,}053096\times1{,}8\times10^{-9}\times320.
Calculemos em etapas:
10{,}053096\times1{,}8\times10^{-9}=1{,}80955728\times10^{-8}.
1{,}80955728\times10^{-8}\times320=5{,}7905849\times10^{-6}\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{s}.
Dividindo pelo \ln:
J_A=\frac{5{,}7905849\times10^{-6}}{0{,}22314355}=2{,}595\times10^{-5}\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{s}.
Arredondando com sentido prático:
J_A\approx2{,}60\times10^{-5}\\ \mathrm{kmol}/\mathrm{s}.]

Passo 7

Converter vazão molar J_A em vazão mássica \dot{m}.
  • Massa molar do \mathrm{H}_2:
    M_{H_2}=2{,}016\\ \mathrm{kg}/\mathrm{kmol}.
  • Então
    \dot{m}=J_A\cdot M_{H_2}=2{,}595\times10^{-5}\times2{,}016\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Cálculo:
\dot{m}=2{,}595\times10^{-5}\times2{,}016=5{,}2327\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Em unidades mais familiares (gramas por segundo):
5{,}2327\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}=0{,}052327\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}.
Arredondando de forma coerente com dados dados:
\dot{m}\approx5{,}23\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}\quad(\text{ou }0{,}0523\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}).

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo:
  • O valor encontrado é pequeno (da ordem de 10^{-5}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}), ou cerca de 0{,}05\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}. Isso significa que, por difusão através da parede com os parâmetros dados e essa diferença enorme de pressões, a perda é pequena, mas não nula.
  • Se for preciso, pode-se transformar para \mathrm{kg}/\mathrm{h} multiplicando por 3600; com este valor daria aproximadamente 0{,}188\\ \mathrm{kg}/\mathrm{h}. (Só um complemento, não alterei o resultado final.)

Resposta

\dot{m}\approx5{,}23\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}
\dot{m}\approx0{,}0523\\ \mathrm{g}/\mathrm{s}

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