Um escoamento bi-dimensional é dado por u=1+y e v=1. Para este escoamento determine as equações das linhas de corrente e da trajetória que passam através da origem. Calcule a aceleração do escoamento. Verifique se o escoamento é incompressível e irrotacional.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
u(x,y)=1+y,\qquad v(x,y)=1,
e pede:
  • as equações da(s) linha(s) de corrente que passam pela origem;
  • a equação da trajetória (pathline) da partícula que passa pela origem;
  • a aceleração do escoamento;
  • verificar se o escoamento é incompressível;
  • verificar se o escoamento é irrotacional.
Informações relevantes fornecidas:
  • O campo de velocidade é independente do tempo (isto é, é um escoamento estacionário).
  • A origem é o ponto (x,y)=(0,0); deve-se tomar este ponto como condição inicial para a linha de corrente e para a trajetória.

Passo 2

Definição e equação diferencial das linhas de corrente (intuição rápida).
  • Linha de corrente é uma curva no espaço cujos vetores tangentes são paralelos ao vetor velocidade em cada ponto. Para um campo bidimensional (u,v) isso dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{v(x,y)}{u(x,y)}.
Aqui, substituindo os componentes fornecidos obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+y}.
Agora resolvemos esta equação diferencial ordinária separável.

Passo 3

Resolver a equação de linha de corrente.
  • A equação é separável: multiplicando ambos os lados por (1+y) e por dx,
(1+y)\,dy = dx.
  • Integramos ambos os lados:
\int (1+y)\,dy = \int dx.
  • Calculando as integrais:
y + \tfrac{1}{2}y^{2} = x + C,
onde C é constante de integração.
  • Impor a condição de que a linha passe pela origem (x,y)=(0,0). Substituindo esses valores:
0 + \tfrac{1}{2}\cdot 0^{2} = 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Portanto a equação da linha de corrente que passa pela origem fica
x = y + \tfrac{1}{2}y^{2}.
Observação prática: pode-se também escrever y em função de x resolvendo a quadrática, mas a forma implícita acima é clara e conveniente.

Passo 4

Definição de trajetória (pathline) e solução do sistema de equações para a partícula que parte da origem.
  • Trajetória é a curva seguida por uma partícula fluida no tempo. Para uma partícula com posição (x(t),y(t)) valem as equações diferenciais ordinárias:
\frac{dx}{dt}=u(x,y)=1+y(t),\qquad \frac{dy}{dt}=v(x,y)=1.
  • Impor condições iniciais: supondo que a partícula passa pela origem no tempo t=0, temos x(0)=0 e y(0)=0.
Resolver primeiro \dfrac{dy}{dt}=1:
\frac{dy}{dt}=1 \quad\Rightarrow\quad y(t)=t + C_{y}.
Com y(0)=0 segue C_{y}=0, então
y(t)=t.
Agora resolver \dfrac{dx}{dt}=1+y(t). Substituindo y(t)=t:
\frac{dx}{dt}=1+t.
Integrando:
x(t)=t + \tfrac{1}{2}t^{2} + C_{x}.
Com x(0)=0 obtemos C_{x}=0, então
x(t)=t + \tfrac{1}{2}t^{2}.
Portanto a trajetória da partícula que passa pela origem é
x(t)=t + \tfrac{1}{2}t^{2},\qquad y(t)=t.

Passo 5

Comparação entre linha de corrente e trajetória.
  • Eliminar t usando t=y (já que y(t)=t) na expressão para x(t):
x = y + \tfrac{1}{2}y^{2},
que coincide exatamente com a equação da linha de corrente encontrada no Passo 3.
  • Conclusão: como o campo de velocidade é independente do tempo (estacionário), as linhas de corrente e as trajetórias coincididem — resultando na mesma curva.

Passo 6

Definição e cálculo da aceleração do escoamento (aceleração material).
  • A aceleração de uma partícula fluida é o derivado material (ou substantivo) do vetor velocidade:
\mathbf{a}=\frac{D\mathbf{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ (u\partial_{x}+v\partial_{y})\mathbf{v}.
Aqui \mathbf{v}=(u,v). Como o campo é estacionário, \partial\mathbf{v}/\partial t=\mathbf{0}, portanto
\mathbf{a}=u\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial x}+v\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial y}.
  • Calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=1,
\frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=0.
  • Componentes da aceleração:
a_{x}=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=u\cdot 0 + v\cdot 1 = v = 1,
a_{y}=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=u\cdot 0 + v\cdot 0 = 0.
  • Assim o vetor aceleração é constante em todo o campo:
\mathbf{a}=(1,0).

Passo 7

Verificação de incompressibilidade.
  • Definição: um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero:
\nabla\cdot\mathbf{v}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Substituindo as derivadas já calculadas:
\nabla\cdot\mathbf{v}=0+0=0.
  • Portanto o escoamento é incompressível.

Passo 8

Verificação de irrotacionalidade (rotacionalidade).
  • Para um escoamento bidimensional, a componente z da vorticidade (curl) é
\omega_{z}=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Substituindo:
\omega_{z}=0-1=-1.
  • Como \omega_{z}\neq 0, o escoamento não é irrotacional; ele é rotacional (tem vorticidade constante igual a -1).

Resposta

Linha de corrente (pelo origem): x = y + \tfrac{1}{2}y^{2}\n
Trajetória (pelo origem): x(t)=t + \tfrac{1}{2}t^{2},\quad y(t)=t\n
Aceleração: \mathbf{a}=(1,0)\n
Incompressível: sim ( \nabla\cdot\mathbf{v}=0)\n
Irrotacional: não ( \omega_{z}=\partial_{x}v-\partial_{y}u=-1\neq0)

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