Um escoamento bi-dimensional é dado por
e
. Para este escoamento determine as equações das linhas de corrente e da trajetória que passam através da origem. Calcule a aceleração do escoamento. Verifique se o escoamento é incompressível e irrotacional.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
e pede:
- as equações da(s) linha(s) de corrente que passam pela origem;
- a equação da trajetória (pathline) da partícula que passa pela origem;
- a aceleração do escoamento;
- verificar se o escoamento é incompressível;
- verificar se o escoamento é irrotacional.
Informações relevantes fornecidas:
- O campo de velocidade é independente do tempo (isto é, é um escoamento estacionário).
- A origem é o ponto
; deve-se tomar este ponto como condição inicial para a linha de corrente e para a trajetória.
Passo 2
Definição e equação diferencial das linhas de corrente (intuição rápida).
- Linha de corrente é uma curva no espaço cujos vetores tangentes são paralelos ao vetor velocidade em cada ponto. Para um campo bidimensional
isso dá a equação diferencial
Aqui, substituindo os componentes fornecidos obtemos
Agora resolvemos esta equação diferencial ordinária separável.
Passo 3
Resolver a equação de linha de corrente.
- A equação é separável: multiplicando ambos os lados por
e por ,
- Integramos ambos os lados:
- Calculando as integrais:
onde
é constante de integração.
- Impor a condição de que a linha passe pela origem
. Substituindo esses valores:
- Portanto a equação da linha de corrente que passa pela origem fica
Observação prática: pode-se também escrever
em função de
resolvendo a quadrática, mas a forma implícita acima é clara e conveniente.
Passo 4
Definição de trajetória (pathline) e solução do sistema de equações para a partícula que parte da origem.
- Trajetória é a curva seguida por uma partícula fluida no tempo. Para uma partícula com posição
valem as equações diferenciais ordinárias:
- Impor condições iniciais: supondo que a partícula passa pela origem no tempo
, temos e .
Resolver primeiro
:
Com
segue
, então
Agora resolver
. Substituindo
:
Integrando:
Com
obtemos
, então
Portanto a trajetória da partícula que passa pela origem é
Passo 5
Comparação entre linha de corrente e trajetória.
- Eliminar
usando (já que ) na expressão para :
que coincide exatamente com a equação da linha de corrente encontrada no Passo 3.
- Conclusão: como o campo de velocidade é independente do tempo (estacionário), as linhas de corrente e as trajetórias coincididem — resultando na mesma curva.
Passo 6
Definição e cálculo da aceleração do escoamento (aceleração material).
- A aceleração de uma partícula fluida é o derivado material (ou substantivo) do vetor velocidade:
Aqui
. Como o campo é estacionário,
, portanto
- Calculamos as derivadas parciais necessárias:
- Componentes da aceleração:
- Assim o vetor aceleração é constante em todo o campo:
Passo 7
Verificação de incompressibilidade.
- Definição: um escoamento é incompressível se a divergência do campo de velocidade for zero:
- Substituindo as derivadas já calculadas:
- Portanto o escoamento é incompressível.
Passo 8
Verificação de irrotacionalidade (rotacionalidade).
- Para um escoamento bidimensional, a componente
da vorticidade (curl) é
- Substituindo:
- Como
, o escoamento não é irrotacional; ele é rotacional (tem vorticidade constante igual a ).
Resposta
Linha de corrente (pelo origem):
\n
Trajetória (pelo origem): \n
Aceleração: \n
Incompressível: sim ( )\n
Irrotacional: não ( )
Trajetória (pelo origem):
Aceleração:
Incompressível: sim (
Irrotacional: não (