Em um processo de refrigeração industrial, uma parede plana de um tanque de armazenamento de leite é responsável por separar o fluido refrigerado do ambiente externo. Considere uma parede plana de espessura de 0,05 \mathrm{~m}, com condutividade térmica constante de 0,8 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. O sistema opera em regime permanente com temperaturas na face interna de 4^{\circ} \mathrm{C} e externa de 30^{\circ} \mathrm{C}.
Pede-se:
a) O perfil de temperatura ao longo da parede.
b) A temperatura no ponto 0,03 \mathrm{~m} da espessura.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar o perfil de temperatura ao longo da parede.
  • (b) Calcular a temperatura no ponto \,x=0,03\\ \mathrm{m}\, medido através da espessura.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Espessura da parede: L=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica (constante): k=0,8\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura na face interna (um lado): T(0)=4^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura na face externa (outro lado): T(L)=30^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo a física e a equação a usar (sem pular etapas).
  • Estamos em regime permanente (estado estacionário) e consideramos condução unidimensional através da parede, sem geração de calor interno.
  • A lei que descreve a condução de calor é a lei de Fourier, que em uma dimensão dá o fluxo de calor por unidade de área:
q_x = -k\,\frac{dT}{dx},
onde q_x é o fluxo de calor (W/m²), k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}) e \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura no sentido x.
  • Em regime permanente, e sem geração térmica, a conservação de energia para um elemento diferencial mostra que o fluxo é constante ao longo da espessura; isto leva à equação diferencial:
\frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right)=0.
  • Com k constante, isso simplifica para
\frac{d^2 T}{dx^2}=0.
Isto significa que a temperatura é uma função linear de x. Vou agora integrar essa equação para obter o perfil.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por integração.
  • Integrando \dfrac{d^2 T}{dx^2}=0 uma vez obtemos:
\frac{dT}{dx}=A,
onde A é uma constante (o gradiente de temperatura).
  • Integrando novamente:
T(x)=A x + B,
onde B é outra constante de integração. Portanto a solução geral é uma reta cuja inclinação e intercepto serão fixados pelas condições de contorno (as temperaturas nas faces).

Passo 4

Aplicar as condições de contorno para determinar A e B.
  • Defini x=0 na face interna (onde T(0)=4^\circ\mathrm{C}) e x=L=0,05\\ \mathrm{m} na face externa (onde T(L)=30^\circ\mathrm{C}).
  • Usando T(0)=4^\circ\mathrm{C} na forma T(x)=A x + B:
T(0)=A\cdot 0 + B = B \quad\Rightarrow\quad B=4^\circ\mathrm{C}.
  • Usando T(L)=30^\circ\mathrm{C}:
T(L)=A L + B = 30^\circ\mathrm{C}.
Substituindo B=4^\circ\mathrm{C} e L=0,05\\ \mathrm{m}:
A\cdot 0,05 + 4 = 30 \quad\Rightarrow\quad A\cdot 0,05 = 26.
  • Logo:
A = \frac{26}{0,05} = 520\\ \mathrm{K/m}.

Passo 5

Escrever o perfil de temperatura final.
  • Substituindo A e B na expressão linear:
T(x) = 4^\circ\mathrm{C} + 520\;x,
onde x está em metros e T(x) em graus Celsius. Isso é uma reta que cresce de 4^\circ\mathrm{C} em x=0 até 30^\circ\mathrm{C} em x=0,05\\ \mathrm{m}. Observação: a diferença de temperatura total é 26^\circ\mathrm{C} distribuída linearmente na espessura, por isso o gradiente constante de 520\\ \mathrm{K/m}.

Passo 6

Calcular a temperatura no ponto x=0,03\\ \mathrm{m}.
  • Usar a fórmula encontrada:
T(0,03) = 4^\circ\mathrm{C} + 520\cdot 0,03.
  • Calculemos 520\cdot 0,03:
520\cdot 0,03 = 15,6.
  • Portanto:
T(0,03)=4 + 15,6 = 19,6^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Comentário rápido motivador (útil para a prova)
  • Resultado simples e recorrente em provas: para parede plana sem geração e condutividade constante, o perfil é sempre linear entre as temperaturas das faces. Memorize: equação diferencial reduz a um polinômio de 1.º grau.
  • Se na prova pedirem também o fluxo de calor por unidade de área, pode-se usar a lei de Fourier com o gradiente constante:
q_x = -k\,\frac{dT}{dx} = -k A = -0,8\cdot 520 = -416\\ \mathrm{W/m^2},
ou seja, fluxo de 416\\ \mathrm{W/m^2} do lado quente para o frio (o sinal negativo indica direção do fluxo para decrescer x). Isso serve como checagem da resposta (não era pedido, mas é útil para conferir consistência).

Resposta

T(x)=4^\circ\mathrm{C}+520\,x
T(0,03\\ \mathrm{m})=19,6^\circ\mathrm{C}

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