Em um processo de refrigeração industrial, uma parede plana de um tanque de armazenamento de leite é responsável por separar o fluido refrigerado do ambiente externo. Considere uma parede plana de espessura de
, com condutividade térmica constante de
. O sistema opera em regime permanente com temperaturas na face interna de
e externa de
.
Pede-se:
a) O perfil de temperatura ao longo da parede.
b) A temperatura no ponto
da espessura.
Pede-se:
a) O perfil de temperatura ao longo da parede.
b) A temperatura no ponto
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar o perfil de temperatura ao longo da parede.
- (b) Calcular a temperatura no ponto
medido através da espessura.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
- Espessura da parede:
. - Condutividade térmica (constante):
. - Temperatura na face interna (um lado):
. - Temperatura na face externa (outro lado):
.
Passo 2
Entendendo a física e a equação a usar (sem pular etapas).
- Estamos em regime permanente (estado estacionário) e consideramos condução unidimensional através da parede, sem geração de calor interno.
- A lei que descreve a condução de calor é a lei de Fourier, que em uma dimensão dá o fluxo de calor por unidade de área:
onde
é o fluxo de calor (W/m²),
é a condutividade térmica (
) e
é o gradiente de temperatura no sentido
.
- Em regime permanente, e sem geração térmica, a conservação de energia para um elemento diferencial mostra que o fluxo é constante ao longo da espessura; isto leva à equação diferencial:
- Com
constante, isso simplifica para
Isto significa que a temperatura é uma função linear de
. Vou agora integrar essa equação para obter o perfil.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por integração.
- Integrando
uma vez obtemos:
onde
é uma constante (o gradiente de temperatura).
- Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração. Portanto a solução geral é uma reta cuja inclinação e intercepto serão fixados pelas condições de contorno (as temperaturas nas faces).
Passo 4
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
.
- Defini
na face interna (onde ) e na face externa (onde ). - Usando
na forma :
- Usando
:
Substituindo
e
:
- Logo:
Passo 5
Escrever o perfil de temperatura final.
- Substituindo
e na expressão linear:
onde
está em metros e
em graus Celsius. Isso é uma reta que cresce de
em
até
em
. Observação: a diferença de temperatura total é
distribuída linearmente na espessura, por isso o gradiente constante de
.
Passo 6
Calcular a temperatura no ponto
.
- Usar a fórmula encontrada:
- Calculemos
:
- Portanto:
Passo 7
Comentário rápido motivador (útil para a prova)
- Resultado simples e recorrente em provas: para parede plana sem geração e condutividade constante, o perfil é sempre linear entre as temperaturas das faces. Memorize: equação diferencial reduz a um polinômio de 1.º grau.
- Se na prova pedirem também o fluxo de calor por unidade de área, pode-se usar a lei de Fourier com o gradiente constante:
ou seja, fluxo de
do lado quente para o frio (o sinal negativo indica direção do fluxo para decrescer
). Isso serve como checagem da resposta (não era pedido, mas é útil para conferir consistência).