hidrogênio, identificando os níveis com os números quânticos apropriados.
Qual é a probabilidade de se encontrar o elétron do átomo de hidrogênio, no seu estado fundamental, entre duas esferas de raios r=1,00 rB e r=1,01 rB ?

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é: a gente tem um átomo de hidrogênio no estado fundamental (n=1) e quer saber qual a chance de achar o elétron entre duas cascas esféricas de raio r1=1,00,r B e r2=1,01,r B.
Conteúdo: Mecânica Quântica – função de onda do hidrogênio, densidade de probabilidade e distribuição radial.
O que precisamos:
  • A expressão da função de onda do estado fundamental, psi100(r,theta,phi).
  • Como calcular probabilidade em uma casca esférica: P=integralr1^r2|psi|^2, dV com dV=4pi r^2 dr.
  • Fazer a integral e avaliar nos limites.

Passo 2

Função de onda no estado fundamental (n=1, l=0, m=0):
psi100(r,theta,phi);=;1raizpi a0^3,e^-r/a0,
onde a0=r B é o raio de Bohr.
A densidade de probabilidade é
|psi100|^2;=;1pi a0^3,e^-2r/a0

Passo 3

A probabilidade de encontrar o elétron entre r1 e r2 é
P ;=;integralr1^r2|psi100(r)|^2,4pi r^2, dr ;=;4piintegralr1^r21pi a0^3,e^-2r/a0,r^2, dr ;=;4a0^3integralr1^r2r^2e^-2r/a0, dr

Passo 4

Agora precisamos da integral
I(r)=integral r^2e^-2r/a0, dr
Usando a fórmula padrão
integral r^2e^-alpha r, dr = e^-alpha rl(-r^2alpha-2ralpha^2-2alpha^3r),
com alpha=2/a0, dá
I(r)=e^-2r/a0l(-a0r^22-a0^2r2-a0^34r)

Passo 5

Então
$$P=\frac{4}{a_0^3}\Bigl[I(r_2)-I(r_1)\Bigr]
=\Bigl[-2\Bigl(\tfrac{r}{a_0}\Bigr)2-2\Bigl(\tfrac{r}{a_0}\Bigr)-1\Bigr]e{-2r/a_0}\Big|_{r_1}^{r_2}. P=4a0^3l[I(r2)-I(r1)r] =l[-2l(tfracra0r)^2-2l(tfracra0r)-1r]e^-2r/a0|r1^r2P=\Bigl[1+2x_1+2x_12\Bigr]e{-2x_1};-;\Bigl[1+2x_2+2x_22\Bigr]e{-2x_2}.$$
Numericamente:
  • x1=r1/a0=1,00
  • x2=r2/a0=1,01
    Logo
P=l[1+2x1+2x1^2r]e^-2x1;-;l[1+2x2+2x2^2r]e^-2x2

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron entre r=1,00,a0 e r=1,01,a0 é aproximadamente
boxedPapprox5,4times10^-3;(approx0,54%)$

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