O histograma é um gráfico de barras vertical que representa a distribuição de frequència de uma variável quantitativa (discreta e contínua), utilizados para agrupar dados em classes.
Passo 1
Você escreveu uma frase definindo histograma. O que vou fazer: explicar claramente o que é um histograma, mostrar passo a passo como construí‑lo (com um exemplo numérico), ensinar as fórmulas que aparecem quando precisamos escolher classes e alturas, e dar dicas de interpretação e erros comuns. Informações dadas pelo enunciado que vou usar: que o histograma é um gráfico de barras verticais que representa a distribuição de frequência de uma variável quantitativa e que serve para agrupar dados em classes.
Passo 2
Definição e ideia essencial — o que cada coisa significa. Um histograma é um gráfico formado por barras adjacentes (sem espaços quando as classes cobrem um contínuo) onde:
- cada barra corresponde a uma classe (intervalo) da variável;
- a base da barra tem largura igual à amplitude da classe, que chamaremos de
w_i ; - a altura da barra é escolhida de forma que a área da barra seja proporcional à frequência (ou frequência relativa) dos dados naquela classe.
Explicando as notações:
-
= número total de observações (tamanho da amostra). -
= frequência absoluta da -ésima classe (quantos dados caem nela). -
= frequência relativa da -ésima classe, isto é . -
= largura (amplitude) da -ésima classe. -
= densidade de frequência da -ésima classe (altura que devemos usar quando classes têm larguras diferentes).
Fórmula que garante que a área da barra represente a frequência absoluta:
Dessa igualdade segue que, se queremos que a área represente a frequência absoluta,
Se preferirmos que a área represente a frequência relativa, usamos
Observação prática: quando todas as classes têm a mesma largura (
igual para todo
), muitas vezes plotamos a altura simplesmente como
(frequência) ou
(frequência relativa) — porque dividir por uma constante não muda a forma relativa do histograma.
Passo 3
Como escolher classes — regras práticas que você pode usar na prova.
- Número de classes
:
- Regra de Sturges (fácil e muito usada em provas):
onde
é função teto (arredonda para cima). Aqui
é logaritmo base 2.
2) Largura da classe (se usar classes uniformes):
2) Largura da classe (se usar
- calcule o intervalo total (amplitude):
. - largura aproximada:
. Arredonde para um valor conveniente (1, 2, 5, 10, etc.) se necessário.
- Outra regra (para dados contínuos e amostras maiores): Freedman–Diaconis para largura de classe
onde
é o intervalo interquartílico (diferença entre terceiro e primeiro quartis). Essa regra tende a equilibrar viés e variância.
Passo 4
Construção passo a passo com um exemplo numérico bem mastigado. Suponha os dados:
. Aqui
.
- Calcule
: . - Use Sturges para obter
:
- Calcule a amplitude
:
- Largura aproximada das classes:
Escolhemos um
conveniente, por exemplo
. Agora montamos as classes começando em
:
- Classe 1:
com largura . - Classe 2:
com largura . - Classe 3:
com largura . - Classe 4:
com largura . - Classe 5:
com largura .
- Conte as observações em cada classe (tally):
-
: contém → . -
: contém → . -
: contém → . -
: contém → . -
: contém → .
Verifique
.
- Alturas para o histograma (classes todas com mesma largura
):
- Se você quer barras com alturas iguais às frequências absolutas, plote altura
. Então as alturas são . - Se preferir densidade (útil quando larguras diferentes), calcule
. Aqui , então : . - Se preferir frequência relativa, calcule
: .
Se todas as larguras são iguais, as duas formas (altura =
ou altura =
) são equivalentes em forma; apenas mudam a escala vertical.
Passo 5
E se as classes tiverem larguras diferentes? Exemplo rápido para mostrar por que usamos densidade:
- Imagine que a última classe fosse
com (em vez de ) e ainda . - Se você desenhasse a barra com altura
, a área seria , o que não corresponde à frequência real — erro grave. - Para corrigir, usamos densidade:
assim a área é
. Portanto, sempre que houver classes de larguras diferentes, calcule a altura como
(ou a versão relativa
).
Passo 6
Interpretação do histograma — o que observar na prova:
- Forma: simétrica, assimétrica à direita (skewed right), assimétrica à esquerda (skewed left).
- Modalidade: unimodal, bimodal, multimodal.
- Caudas e outliers: barras isoladas nas extremidades podem indicar outliers.
- Concentração: onde estão as barras mais altas (moda).
- Densidade vs frequência: saiba dizer se o eixo vertical mostra frequência absoluta, frequência relativa ou densidade de frequência (isto é importante ao comparar histogramas com larguras diferentes).
Passo 7
Erros comuns e dicas práticas para a prova:
- Não misture histograma com gráfico de barras categóricas: histograma é para variável quantitativa; gráfico de barras (com espaços) é para qualitativa.
- Se as classes têm larguras diferentes, NÃO use alturas iguais às frequências — use densidade
. - Escolha
(número de classes) com alguma justificativa (Sturges ou Freedman–Diaconis) e explique o motivo brevemente na resposta se pedirem. - Ao calcular classes, defina claramente se usa intervalos do tipo
ou e seja consistente para não duplicar/omitir pontos de fronteira. - Em provas sem calculadora, use aproximações simples para
e escolha limites inteiros simples para as classes.
Passo 8
Resumo prático para decorar (fórmulas essenciais que caem em prova):
Essas são as fórmulas que você provavelmente terá de usar ou justificar. Respira fundo: siga os passos (calcular
, escolher
, definir
, construir classes, contar
, calcular alturas) e você fará um histograma correto.
Resposta
Um histograma é um gráfico de barras verticais em que cada barra representa uma classe (intervalo) de uma variável quantitativa; a base da barra tem largura igual à amplitude da classe e a altura é escolhida de modo que a área da barra seja proporcional à frequência da classe (altura
para densidade, ou
/
quando todas as classes têm a mesma largura), permitindo visualizar a forma, concentração e dispersão da distribuição dos dados.