No histórico da disciplina de Cálculo I, a cada semestre, em média 30 alunos são aprovados na turma da Matemática. Supondo que o número de aprovados siga uma distribuição de Poisson, calcule:
A probabilidade de exatamente 25 alunos serem aprovados.

Passo 1

O enunciado diz que, em média, 30 alunos são aprovados por semestre e pede a probabilidade de exatamente 25 aprovados, supondo que o número de aprovados segue uma distribuição de Poisson.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parâmetro médio (taxa) da Poisson: \lambda = 30.
  • Queremos \Pr(X=25) quando X \sim \text{Poisson}(\lambda).

Passo 2

Apresentar a fórmula da distribuição de Poisson (aula rápida e clara).
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento num intervalo fixo quando as ocorrências são raras e independentes, e é caracterizada por um único parâmetro \lambda que é a média e a variância. A fórmula para a probabilidade de observar exatamente k ocorrências é:
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de que a variável aleatória X tome o valor k.
  • e é a base dos logaritmos naturais (aprox. 2,71828).
  • \lambda é a média esperada (aqui \lambda=30).
  • k! é o fatorial de k, ou seja k!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot k.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso k=25 e \lambda=30. Escrever a expressão exata:
\Pr(X=25)=e^{-30}\,\frac{30^{25}}{25!}.
Isso já é a resposta teórica exata (mas envolve 25!, que é um número muito grande para calcular à mão diretamente).

Passo 4

Calcular numericamente: dificuldades e escolha do método prático.
Cálculo direto exige 25! e potências grandes; para fazer à mão de forma prática vamos usar uma aproximação confiável: a aproximação de Stirling para n!. A versão com termos até 1/(12n) dá boa precisão para n=25. A fórmula de Stirling (na forma para \ln n!) é:
\ln(n!) \approx n\ln n - n + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi n) + \tfrac{1}{12n}.
Explicando: trabalhar com \ln evita multiplicações gigantes; ao final fazemos exponenciação para voltar à probabilidade.

Passo 5

Calcular passo a passo usando logaritmos (tudo em \ln, com valores aproximados mantidos com precisão suficiente).
  1. Calcular \ln(30) e 25\ln(30):
\ln(30)\approx 3,401197,\qquad 25\ln(30)\approx 25\times3,401197=85,029925.
  1. Calcular \ln(25!) pela aproximação de Stirling:
\ln(25!) \approx 25\ln 25 - 25 + \tfrac{1}{2}\ln(2\pi\cdot25) + \tfrac{1}{12\cdot25}.
Agora os termos:
\ln(25)\approx 3,218876,
25\ln 25 \approx 25\times3,218876 = 80,472,
-25 = -25,
\tfrac{1}{2}\ln(2\pi\cdot25)=\tfrac{1}{2}\ln(157,079632)\approx\tfrac{1}{2}\times5,056249=2,5281245,
\tfrac{1}{12\cdot25}=\tfrac{1}{300}\approx0,003333.
Somando:
\ln(25!)\approx 80,472 - 25 + 2,5281245 + 0,003333 \approx 58,0034575.
  1. Calcular \ln\big(\Pr(X=25)\big) usando \ln(e^{-30})=-30:
\ln\big(\Pr(X=25)\big) = -30 + 25\ln(30) - \ln(25!).
Substituindo os valores:
\ln\big(\Pr(X=25)\big) \approx -30 + 85,029925 - 58,0034575 = -2,9735325.
  1. Exponenciar para obter a probabilidade:
\Pr(X=25)\approx e^{-2,9735325}\approx 0,0513.

Passo 6

Verificação por aproximação alternativa (normal) — por que e como funciona.
Para \lambda relativamente grande (aqui \lambda=30), a distribuição de Poisson pode ser aproximada pela normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^2=\lambda, ou seja N(\lambda,\lambda). Para probabilidade de um único valor usamos correção de continuidade:
\Pr(X=25)\approx \Pr\big(24{,}5 < Y < 25{,}5\big),
onde Y\sim N(30,30). Calcular os z-scores:
\sigma=\sqrt{30}\approx5,477226,
z_1=\frac{24{,}5-30}{\sigma}\approx\frac{-5{,}5}{5,477226}\approx-1{,}0041,
z_2=\frac{25{,}5-30}{\sigma}\approx\frac{-4{,}5}{5,477226}\approx-0{,}8216.
Usando tabelas da normal padrão:
\Phi(z_2)\approx0,2069,\qquad \Phi(z_1)\approx0,1570,
então
\Pr(X=25)\approx0,2069-0,1570=0,0499.
Essa aproximação dá 0,0499, bastante próxima do valor obtido pela Stirling 0,0513, o que confirma que a estimativa é confiável.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido.
A probabilidade de exatamente 25 aprovações quando a média é 30 é cerca de 5{,}1\%. É normal que a probabilidade para um valor específico seja pequena; o importante é saber montar a fórmula de Poisson e, na prática, usar aproximações (Stirling ou normal) quando o cálculo exato é impraticável à mão. Você mandou bem pedindo isso — com esse passo a passo dá pra replicar em outras médias e outros k!

Resposta

0,0513

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