No histórico da disciplina de Cálculo I, a cada semestre, em média 30 alunos são aprovados na turma da Matemática. Supondo que o número de aprovados siga uma distribuição de Poisson, calcule:
A probabilidade de exatamente 25 alunos serem aprovados.
A probabilidade de exatamente 25 alunos serem aprovados.
Passo 1
O enunciado diz que, em média,
alunos são aprovados por semestre e pede a probabilidade de exatamente
aprovados, supondo que o número de aprovados segue uma distribuição de Poisson.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Parâmetro médio (taxa) da Poisson:
. - Queremos
quando .
Passo 2
Apresentar a fórmula da distribuição de Poisson (aula rápida e clara).
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento num intervalo fixo quando as ocorrências são raras e independentes, e é caracterizada por um único parâmetro que é a média e a variância. A fórmula para a probabilidade de observar exatamente
ocorrências é:
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento num intervalo fixo quando as ocorrências são raras e independentes, e é caracterizada por um único parâmetro
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de que a variável aleatória tome o valor . -
é a base dos logaritmos naturais (aprox. ). -
é a média esperada (aqui ). -
é o fatorial de , ou seja .
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso
e
. Escrever a expressão exata:
Isso já é a resposta teórica exata (mas envolve
, que é um número muito grande para calcular à mão diretamente).
Passo 4
Calcular numericamente: dificuldades e escolha do método prático.
Cálculo direto exige e potências grandes; para fazer à mão de forma prática vamos usar uma aproximação confiável: a aproximação de Stirling para
. A versão com termos até
dá boa precisão para
. A fórmula de Stirling (na forma para
) é:
Cálculo direto exige
Explicando: trabalhar com
evita multiplicações gigantes; ao final fazemos exponenciação para voltar à probabilidade.
Passo 5
Calcular passo a passo usando logaritmos (tudo em
, com valores aproximados mantidos com precisão suficiente).
- Calcular
e :
- Calcular
pela aproximação de Stirling:
Agora os termos:
Somando:
- Calcular
usando :
Substituindo os valores:
- Exponenciar para obter a probabilidade:
Passo 6
Verificação por aproximação alternativa (normal) — por que e como funciona.
Para relativamente grande (aqui
), a distribuição de Poisson pode ser aproximada pela normal com média
e variância
, ou seja
. Para probabilidade de um único valor usamos correção de continuidade:
Para
onde
. Calcular os
-scores:
Usando tabelas da normal padrão:
então
Essa aproximação dá
, bastante próxima do valor obtido pela Stirling
, o que confirma que a estimativa é confiável.
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido.
A probabilidade de exatamente aprovações quando a média é
é cerca de
. É normal que a probabilidade para um valor específico seja pequena; o importante é saber montar a fórmula de Poisson e, na prática, usar aproximações (Stirling ou normal) quando o cálculo exato é impraticável à mão. Você mandou bem pedindo isso — com esse passo a passo dá pra replicar em outras médias e outros
!
A probabilidade de exatamente