No histórico da disciplina de Cálculo I, a cada semestre, em média 30 alunos são aprovados na turma da Matemática. Supondo que o número de aprovados siga uma distribuição de Poisson, calcule:
A probabilidade de pelo menos 28 alunos serem aprovados.
A probabilidade de pelo menos 28 alunos serem aprovados.
Passo 1
O enunciado diz que o número de aprovados por semestre segue uma distribuição de Poisson com média, em média,
aprovados. Queremos a probabilidade de pelo menos
alunos serem aprovados.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Parâmetro da Poisson:
. - Evento pedido: “pelo menos
aprovados”, ou seja, calcular onde .
Passo 2
O que significa a distribuição de Poisson e a fórmula que a define.
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo quando as ocorrências são raras e independentes. A função massa de probabilidade (pmf) é:
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo quando as ocorrências são raras e independentes. A função massa de probabilidade (pmf) é:
onde:
-
é a média (e também a variância) da distribuição, -
é um número inteiro não negativo, -
é a base dos logaritmos naturais.
Para achar
diretamente pela definição daria:
Explicar: isso é exato, mas somar
termos com fatores de
é trabalhoso para fazer à mão na prova sem calculadora.
Passo 3
Escolha do método prático para a prova.
Regra prática: quando é grande (regra de ouro:
), a Poisson pode ser aproximada por uma normal com média
e variância
. Ou seja,
Regra prática: quando
Vantagem: usar tabela ou tabela da normal padrão é muito mais rápido e aceitável em prova. Como
é bem maior que
, esta aproximação é adequada.
Passo 4
Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade (muito importante).
Queremos para discreto
. A correção de continuidade transforma isso em evento contínuo:
Queremos
quando usamos a normal contínua. Para a normal aproximante, padronizamos:
Assim
onde
é a função distribuição da normal padrão.
Passo 5
Cálculo numérico do
-score passo a passo.
Calcular a raiz:
Calcular a raiz:
Diferença:
Dividindo:
Passo 6
Usar a simetria da normal e tabela para obter a probabilidade.
Pelo fato , temos
Pelo fato
Então
Agora buscamos
em uma tabela da normal padrão (ou calculadora). Usando valores típicos de tabela:
e
. Fazendo interpolação linear para
(distância
de
, i.e. fração
do passo de
):
Calcule a parte final:
logo
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida.
Portanto, usando a aproximação normal com correção de continuidade, obtemos
Portanto, usando a aproximação normal com correção de continuidade, obtemos
ou seja, aproximadamente
. Essa é uma aproximação muito razoável para
. Se for exigida maior precisão na prova, usar uma calculadora ou software para somar exatamente
dá o valor exato numérico, mas o procedimento acima é o que tipicamente se pede quando
é grande.