No histórico da disciplina de Cálculo I, a cada semestre, em média 30 alunos são aprovados na turma da Matemática. Supondo que o número de aprovados siga uma distribuição de Poisson, calcule:
A probabilidade de pelo menos 28 alunos serem aprovados.

Passo 1

O enunciado diz que o número de aprovados por semestre segue uma distribuição de Poisson com média, em média, 30 aprovados. Queremos a probabilidade de pelo menos 28 alunos serem aprovados.
Informações dadas:
  • Parâmetro da Poisson: \lambda = 30.
  • Evento pedido: “pelo menos 28 aprovados”, ou seja, calcular \Pr(X \ge 28) onde X\sim\text{Poisson}(\lambda=30).

Passo 2

O que significa a distribuição de Poisson e a fórmula que a define.
A distribuição de Poisson modela o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo quando as ocorrências são raras e independentes. A função massa de probabilidade (pmf) é:
\Pr(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • \lambda é a média (e também a variância) da distribuição,
  • k é um número inteiro não negativo,
  • e é a base dos logaritmos naturais.
Para achar \Pr(X\ge 28) diretamente pela definição daria:
\Pr(X\ge 28)=1-\Pr(X\le 27)=1-\sum_{k=0}^{27} e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicar: isso é exato, mas somar 28 termos com fatores de k! é trabalhoso para fazer à mão na prova sem calculadora.

Passo 3

Escolha do método prático para a prova.
Regra prática: quando \lambda é grande (regra de ouro: \lambda\gtrsim 10), a Poisson pode ser aproximada por uma normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^{2}=\lambda. Ou seja,
X\approx N(\mu=\lambda,\;\sigma^{2}=\lambda).
Vantagem: usar tabela ou tabela da normal padrão é muito mais rápido e aceitável em prova. Como \lambda=30 é bem maior que 10, esta aproximação é adequada.

Passo 4

Aplicar a aproximação normal com correção de continuidade (muito importante).
Queremos \Pr(X\ge 28) para discreto X. A correção de continuidade transforma isso em evento contínuo:
\Pr(X\ge 28)\approx \Pr\big(X>27{,}5\big)
quando usamos a normal contínua. Para a normal aproximante, padronizamos:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\quad\text{com}\quad \mu=\lambda=30,\\ \sigma=\sqrt{\lambda}=\sqrt{30}.
Assim
\Pr(X\ge 28)\approx \Pr\!\left(Z>\frac{27{,}5-30}{\sqrt{30}}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{27{,}5-30}{\sqrt{30}}\right),
onde \Phi é a função distribuição da normal padrão.

Passo 5

Cálculo numérico do z-score passo a passo.
Calcular a raiz:
\sqrt{30}\approx 5{,}477225575.
Diferença:
27{,}5-30 = -2{,}5.
Dividindo:
z=\frac{27{,}5-30}{\sqrt{30}}=\frac{-2{,}5}{5{,}477225575}\approx -0{,}456435.

Passo 6

Usar a simetria da normal e tabela para obter a probabilidade.
Pelo fato \Phi(-z)=1-\Phi(z), temos
1-\Phi(-0{,}456435)=\Phi(0{,}456435).
Então
\Pr(X\ge 28)\approx \Phi(0{,}456435).
Agora buscamos \Phi(0{,}456435) em uma tabela da normal padrão (ou calculadora). Usando valores típicos de tabela:
\Phi(0{,}45)=0{,}6736 e \Phi(0{,}46)=0{,}6772. Fazendo interpolação linear para 0{,}456435 (distância 0{,}006435 de 0{,}45, i.e. fração 0{,}6435 do passo de 0{,}01):
\Phi(0{,}456435)\approx 0{,}6736 + 0{,}6435\cdot(0{,}6772-0{,}6736)\approx 0{,}6736 + 0{,}6435\cdot 0{,}0036.
Calcule a parte final:
0{,}6435\cdot 0{,}0036 \approx 0{,}002317,
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\Phi(0{,}456435)\approx 0{,}6736 + 0{,}002317 \approx 0{,}675917\approx 0{,}6759.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida.
Portanto, usando a aproximação normal com correção de continuidade, obtemos
\Pr(X\ge 28)\approx 0{,}6759,
ou seja, aproximadamente 67{,}6\%. Essa é uma aproximação muito razoável para \text{Poisson}(30). Se for exigida maior precisão na prova, usar uma calculadora ou software para somar exatamente 1-\sum_{k=0}^{27} e^{-30}30^{k}/k! dá o valor exato numérico, mas o procedimento acima é o que tipicamente se pede quando \lambda é grande.

Resposta

0,6759

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