\hline 12) & Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de
no ponto de abscissa 2. \
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto de abscissa
do gráfico da função:
- A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é . - A equação da reta normal (reta perpendicular à tangente) nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
e a abscissa do ponto é
.
Não há mais informações explícitas no enunciado.
Não há mais informações explícitas no enunciado.
Passo 2
Primeiro precisamos determinar o ponto no qual vamos trabalhar: calcular a ordenada
quando
. Substituindo na função:
Logo o ponto do gráfico é
.
Passo 3
Explicação conceitual: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a um gráfico em um ponto é o valor da derivada da função nesse ponto. Portanto precisamos calcular
e depois avaliar em
.
Para funções dadas por quociente
usamos a regra do quociente:
onde
é a derivada de
e
é a derivada de
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Identificamos
e
e suas derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandir
:
Subtraindo
:
Portanto a derivada fica
Passo 5
Agora avaliamos
em
para obter a inclinação da tangente:
Calculo do numerador em :
Calculo do numerador em
Denominador em
:
Logo
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é
.
Passo 6
Equação da reta tangente: usando a fórmula ponto‑inclinação da reta que passa por
com coeficiente angular
,
Aplicando com
e
:
Expandindo para forma explícita:
Passo 7
Equação da reta normal: a reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do recíproco do da tangente. Assim
Usando a fórmula ponto‑inclinação com
e o mesmo ponto
:
Podemos deixar em forma explícita. Multiplicando e simplificando:
Forma alternativa em forma linear inteira (multiplicando por
):
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: