\hline 12) & Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de \mathrm{y}=\frac{x^{3}+x}{x-1} no ponto de abscissa 2. \

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto de abscissa 2 do gráfico da função:
  • A equação da reta tangente ao gráfico de \displaystyle y=\frac{x^{3}+x}{x-1} no ponto cuja abscissa é 2.
  • A equação da reta normal (reta perpendicular à tangente) nesse mesmo ponto.
Informações dadas:
y=\frac{x^{3}+x}{x-1}
e a abscissa do ponto é x_{0}=2.
Não há mais informações explícitas no enunciado.

Passo 2

Primeiro precisamos determinar o ponto no qual vamos trabalhar: calcular a ordenada y quando x=2. Substituindo na função:
y(2)=\frac{2^{3}+2}{2-1}=\frac{8+2}{1}=\frac{10}{1}=10.
Logo o ponto do gráfico é (2,10).

Passo 3

Explicação conceitual: a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente a um gráfico em um ponto é o valor da derivada da função nesse ponto. Portanto precisamos calcular y'(x) e depois avaliar em x=2.
Para funções dadas por quociente y=\dfrac{u(x)}{v(x)} usamos a regra do quociente:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},
onde u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Identificamos u e v e suas derivadas:
u(x)=x^{3}+x,\qquad u'(x)=3x^{2}+1,
v(x)=x-1,\qquad v'(x)=1.
Aplicando a regra do quociente:
y'(x)=\frac{(3x^{2}+1)(x-1)-(x^{3}+x)\cdot 1}{(x-1)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo. Primeiro expandir (3x^{2}+1)(x-1):
(3x^{2}+1)(x-1)=3x^{3}-3x^{2}+x-1.
Subtraindo (x^{3}+x):
3x^{3}-3x^{2}+x-1-(x^{3}+x)=2x^{3}-3x^{2}-1.
Portanto a derivada fica
y'(x)=\frac{2x^{3}-3x^{2}-1}{(x-1)^{2}}.

Passo 5

Agora avaliamos y'(x) em x=2 para obter a inclinação da tangente:
Calculo do numerador em x=2:
2\cdot 2^{3}-3\cdot 2^{2}-1=2\cdot 8-3\cdot 4-1=16-12-1=3.
Denominador em x=2:
(2-1)^{2}=1^{2}=1.
Logo
y'(2)=\frac{3}{1}=3.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é m_{\text{tang}}=3.

Passo 6

Equação da reta tangente: usando a fórmula ponto‑inclinação da reta que passa por (x_{0},y_{0}) com coeficiente angular m,
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aplicando com (x_{0},y_{0})=(2,10) e m=3:
y-10=3(x-2).
Expandindo para forma explícita:
y-10=3x-6 \quad\Rightarrow\quad y=3x+4.

Passo 7

Equação da reta normal: a reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do recíproco do da tangente. Assim
m_{\text{normal}}=-\frac{1}{m_{\text{tang}}}=-\frac{1}{3}.
Usando a fórmula ponto‑inclinação com m=-\frac{1}{3} e o mesmo ponto (2,10):
y-10=-\frac{1}{3}(x-2).
Podemos deixar em forma explícita. Multiplicando e simplificando:
y-10=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}
y=-\frac{1}{3}x+10+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}x+\frac{32}{3}.
Forma alternativa em forma linear inteira (multiplicando por 3):
x+3y-32=0.

Resposta

Reta tangente: y=3x+4
Reta normal: y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{32}{3}

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