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Faça um esboço de uma função com as seguintes propriedades:
a)
para
b)
para
c)
para
d)
para
\
Faça um esboço de uma função com as seguintes propriedades: |
a)
|
b)
|
c)
|
d)
|
Passo 1
O enunciado pede um esboço de uma função
cujas derivadas satisfazem
-
em e em , -
em , -
para , -
para .
O conteúdo aqui é análise de sinal de derivada primeira (monotonia e extremos) e derivada segunda (concavidade e ponto de inflexão).
Passo 2
Analisando
:
– Em ,
indica que
é crescente até
.
– Em ,
indica que
é decrescente nesse intervalo.
– Em ,
indica que
volta a crescer.
Logo, tem um máximo local em
e um mínimo local em
.
– Em
– Em
– Em
Logo,
Passo 3
Analisando
:
– Em ,
diz que o gráfico é côncavo para baixo até
.
– Em ,
diz que o gráfico é côncavo para cima depois de
.
Portanto, é um ponto de inflexão, onde muda a concavidade de para baixo para para cima.
– Em
– Em
Portanto,
Passo 4
Juntando tudo, o esboço deve ter:
- Para
: curva subindo e côncava para baixo. - Em
: ponto de máximo local. - De
até : curva descendo e ainda côncava para baixo. - Em
: inflexão, a curva continua descendo mas muda a concavidade. - De
até : curva descendo e côncava para cima. - Em
: ponto de mínimo local. - Para
: curva subindo e côncava para cima.
Resposta
Um esboço qualitativo é:
- Segmento crescente e curvado para baixo até
(máximo local). - Segmento decrescente e curvado para baixo até
(inflexão). - Segmento decrescente e curvado para cima até
(mínimo local). - Segmento crescente e curvado para cima para
.