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Faça um esboço de uma função com as seguintes propriedades:
a) para
b) para
c) para
d) para
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Passo 1

O enunciado pede um esboço de uma função f cujas derivadas satisfazem
  1. ,f'(x)>0 em x<-1 e em x>3,
  2. ,f'(x)<0 em -1<x<3,
  3. ,f''(x)<0 para x<2,
  4. ,f''(x)>0 para x>2.
    O conteúdo aqui é análise de sinal de derivada primeira (monotonia e extremos) e derivada segunda (concavidade e ponto de inflexão).

Passo 2

Analisando f'(x):
– Em x<-1, f'(x)>0 indica que f é crescente até x=-1.
– Em -1<x<3, f'(x)<0 indica que f é decrescente nesse intervalo.
– Em x>3, f'(x)>0 indica que f volta a crescer.
Logo, f tem um máximo local em x=-1 e um mínimo local em x=3.

Passo 3

Analisando f''(x):
– Em x<2, f''(x)<0 diz que o gráfico é côncavo para baixo até x=2.
– Em x>2, f''(x)>0 diz que o gráfico é côncavo para cima depois de x=2.
Portanto, x=2 é um ponto de inflexão, onde muda a concavidade de para baixo para para cima.

Passo 4

Juntando tudo, o esboço deve ter:
  • Para x<-1: curva subindo e côncava para baixo.
  • Em x=-1: ponto de máximo local.
  • De -1 até 2: curva descendo e ainda côncava para baixo.
  • Em x=2: inflexão, a curva continua descendo mas muda a concavidade.
  • De 2 até 3: curva descendo e côncava para cima.
  • Em x=3: ponto de mínimo local.
  • Para x>3: curva subindo e côncava para cima.

Resposta

Um esboço qualitativo é:
  1. Segmento crescente e curvado para baixo até (-1,f(-1)) (máximo local).
  2. Segmento decrescente e curvado para baixo até (2,f(2)) (inflexão).
  3. Segmento decrescente e curvado para cima até (3,f(3)) (mínimo local).
  4. Segmento crescente e curvado para cima para x>3.

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