Resolva os seguintes problemas de valores iniciais:
5 y^prime prime+2 y^prime+7 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
5y''+2y'+7y=0,
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1. Vamos usar o método de equação característica para resolver.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando y'' por r^2, y' por r e y por 1:
5r^2+2r+7=0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De<a = 2^2 - 4cdot5cdot7 = 4 - 140 = -136
Como De<a<0, as raízes são complexas
r = -22cdot5 pm i,raiz1362cdot5 = -15pm i,raiz13610 = -15pm i,underbraceraiz345=omega

Passo 4

Com r=-tfrac15pm iomega e omega=tfracraiz345, a solução geral é
y(t)=e^-t/5l(Acos(omega t)+Bsin(omega t)r)

Passo 5

Derivando y(t) usamos a regra do produto e a cadeia:
y'(t)=e^-t/5l(-tfrac15(Acosomega t+Bsinomega t) + B,omegacosomega t - A,omegasinomega tr)

Passo 6

Aplicamos as condições iniciais:
  1. y(0)=2
A=2
  1. y'(0)=1
y'(0)= -tfrac15A + B,omega = -tfrac25 + Bcdottfracraiz345 = 1
Multiplicando por 5:
-2 + Braiz34 = 5 Longrightarrow B = 7raiz34 = 7raiz3434

Resposta

boxedy(t)=e^-t/5l(2cosl(tfracraiz345tr) +7raiz3434,sinl(tfracraiz345tr)r)

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