\hline 19) & Determine o volume da região do 1^{\circ} octante delimitada pelos cilindros hiperbólicos x y=1, x y=9, x z=4, x z=36, y z=25, y z=49. \

Passo 1

O enunciado pede o volume da região do 1^{\circ} octante (ou seja x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0, aqui com x,y,z>0) delimitada pelas seis superfícies dadas. As informações relevantes são:
  • As superfícies são os cilindros hiperbólicos dados por x y=1,\;x y=9,\;x z=4,\;x z=36,\;y z=25,\;y z=49.
  • Na prática isso significa que a região é o conjunto de pontos (x,y,z) com
1 \le xy \le 9,\qquad 4 \le xz \le 36,\qquad 25 \le yz \le 49,
e com x>0,\;y>0,\;z>0.
  • O que se pede: calcular o volume dessa região em unidades cúbicas.

Passo 2

Ideia prática para resolver: como as superfícies são dadas por produtos das variáveis, uma mudança de variáveis natural é definir
u = xy,\qquad v = xz,\qquad w = yz.
Com essa escolha, as seis superfícies ficam simplesmente as faces planas do paralelepípedo no espaço (u,v,w):
1 \le u \le 9,\qquad 4 \le v \le 36,\qquad 25 \le w \le 49.
Ou seja, o domínio em (u,v,w) é o produto dos intervalos [1,9]\times[4,36]\times[25,49]. Resta calcular o Jacobiano da transformação para escrever dV em termos de du\,dv\,dw.

Passo 3

Lembrete rápido sobre mudança de variáveis e Jacobiano: se (u,v,w) é função de (x,y,z), o volume transforma-se como
dV = \left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| du\,dv\,dw.
É frequentemente mais fácil calcular primeiro \det\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} e depois inverter. Aqui
u=xy,\qquad v=xz,\qquad w=yz.
Calculemos a matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}.

Passo 4

Matriz das derivadas:
\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & x & 0 \\[4pt] z & 0 & x \\[4pt] 0 & z & y \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante dessa matriz. Expandindo por cofactores:
\det\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = y\det\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt] z & y\end{pmatrix} - x\det\begin{pmatrix}z & x\\[4pt] 0 & y\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots).
Compute cada menor:
y(0\cdot y - x\cdot z) - x(z\cdot y - x\cdot 0) = y(-xz) - x(zy) = -x y z - x y z = -2 x y z.
Portanto
\det\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = -2 x y z.
Tomando valor absoluto e invertendo, obtemos
\left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| = \frac{1}{2 x y z}.]

Passo 5

Precisamos escrever x y z em termos de u,v,w. Usando as definições,
u=xy,\quad v=xz,\quad w=yz.
Multiplicando as três igualdades:
u v w = (xy)(xz)(yz) = x^2 y^2 z^2 = (xyz)^2.
Logo
xyz = \sqrt{u v w},
pois estamos no primeiro octante (todas variáveis positivas), então a raiz positiva é a correta. Substituindo na expressão do Jacobiano:
\left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| = \frac{1}{2\sqrt{u v w}}.

Passo 6

Agora escrevemos o volume como integral em u,v,w sobre o paralelepípedo [1,9]\times[4,36]\times[25,49]:
V=\int_{u=1}^{9}\int_{v=4}^{36}\int_{w=25}^{49}\frac{1}{2\sqrt{u v w}}\,dw\,dv\,du.
A função integrando é separável, então a integral tripla fatoriza.

Passo 7

Compute as integrais unidimensionais. Primeiro escrevemos a separação:
V=\frac{1}{2}\left(\int_{1}^{9}u^{-1/2}\,du\right) \left(\int_{4}^{36}v^{-1/2}\,dv\right) \left(\int_{25}^{49}w^{-1/2}\,dw\right).
Para t^{-1/2} a primitiva é 2t^{1/2}. Assim
\int_{1}^{9}u^{-1/2}\,du = 2\bigl(\sqrt{9}-\sqrt{1}\bigr)=2(3-1)=4,
\int_{4}^{36}v^{-1/2}\,dv = 2\bigl(\sqrt{36}-\sqrt{4}\bigr)=2(6-2)=8,
\int_{25}^{49}w^{-1/2}\,dw = 2\bigl(\sqrt{49}-\sqrt{25}\bigr)=2(7-5)=4.
Multiplicando tudo:
V=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8\cdot 4.

Passo 8

Calcule a multiplicação final:
4\cdot 8\cdot 4 = 128,
portanto
V=\frac{1}{2}\cdot 128 = 64.
Então o volume da região pedida é 64 unidades cúbicas. Bom trabalho — essa mudança u=xy,\;v=xz,\;w=yz é um truque muito útil quando as superfícies são produtos das coordenadas!

Resposta

64

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