\hline 19) & Determine o volume da região do 1^{\circ} octante delimitada pelos cilindros hiperbólicos x y=1, x y=9, x z=4, x z=36, y z=25, y z=49. \
Passo 1
O enunciado pede o volume da região do 1^{\circ} octante (ou seja x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0, aqui com x,y,z>0) delimitada pelas seis superfícies dadas. As informações relevantes são:
As superfícies são os cilindros hiperbólicos dados por x y=1,\;x y=9,\;x z=4,\;x z=36,\;y z=25,\;y z=49.
Na prática isso significa que a região é o conjunto de pontos (x,y,z) com
O que se pede: calcular o volume dessa região em unidades cúbicas.
Passo 2
Ideia prática para resolver: como as superfícies são dadas por produtos das variáveis, uma mudança de variáveis natural é definir
u = xy,\qquad v = xz,\qquad w = yz.
Com essa escolha, as seis superfícies ficam simplesmente as faces planas do paralelepípedo no espaço (u,v,w):
1 \le u \le 9,\qquad 4 \le v \le 36,\qquad 25 \le w \le 49.
Ou seja, o domínio em (u,v,w) é o produto dos intervalos [1,9]\times[4,36]\times[25,49]. Resta calcular o Jacobiano da transformação para escrever dV em termos de du\,dv\,dw.
Passo 3
Lembrete rápido sobre mudança de variáveis e Jacobiano: se (u,v,w) é função de (x,y,z), o volume transforma-se como
dV = \left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right| du\,dv\,dw.
É frequentemente mais fácil calcular primeiro \det\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} e depois inverter. Aqui
u=xy,\qquad v=xz,\qquad w=yz.
Calculemos a matriz das derivadas parciais \dfrac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}.
Passo 4
Matriz das derivadas:
\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\[4pt] \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y & x & 0 \\[4pt] z & 0 & x \\[4pt] 0 & z & y \end{pmatrix}.
Agora calculamos o determinante dessa matriz. Expandindo por cofactores:
Então o volume da região pedida é 64 unidades cúbicas. Bom trabalho — essa mudança u=xy,\;v=xz,\;w=yz é um truque muito útil quando as superfícies são produtos das coordenadas!