\hline 17) & Calcule
, onde
é a semicircunferência
. \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a semicircunferência dada por
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - A curva
é a semicircunferência superior do círculo de raio centrado na origem (porque corresponde à parte superior do círculo ). - A integral é do tipo
, ou seja, é uma integral de uma função escalar ao longo de uma curva, com respeito ao comprimento de arco . - Não há orientação relevante (a integral com respect to
não depende da orientação).
Passo 2
Regra geral (fórmula que vou usar): se uma curva
é parametrizada por
para
em
, então a integral de uma função escalar
ao longo de
é
Explicando:
é o elemento de comprimento de arco; ao parametrizar por
, ele vira
. Isso transforma a integral sobre a curva em uma integral usual em
.
Passo 3
Escolha de parametrização: para a semicircunferência superior do círculo unitário, a parametrização mais simples é a parametrização trigonométrica
Justificativa:
descreve a circunferência unitária; tomando
de
a
obtemos exatamente a meia-circunferência superior (de
até
). Essa parametrização costuma simplificar
porque as derivadas são senos e cossenos.
Passo 4
Calcular as derivadas e o elemento de arco:
Logo
Portanto
. Substituindo a parametrização na função integranda:
Assim a integral sobre
vira uma integral em
:
Passo 5
Calcular a integral em
. Separo em dois termos:
Primeiro termo:
Segundo termo: usar substituição
. Então
, logo
. Quando
temos
; quando
temos
. Portanto
Agora integrar
:
Multiplicando pelo fator
do termo:
Somando com o primeiro termo:
Passo 6
Recapitulando de forma informal: parametrizei a semicircunferência com
, notei que
nessa parametrização, substituí na integral e usei uma substituição simples (
) para calcular a parte com
. Pronto — não foi tão traumático quanto parecia! Força aí que você já ganhou prática com integrais de linha de funções escalares.