\hline 17) & Calcule \int_{C}\left(3+5 x^{2} y\right) \mathrm{d} s, onde C é a semicircunferência y=\sqrt{1-x^{2}}. \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(3+5x^{2}y\right)\, \mathrm{d}s,
onde C é a semicircunferência dada por y=\sqrt{1-x^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é f(x,y)=3+5x^{2}y.
  • A curva C é a semicircunferência superior do círculo de raio 1 centrado na origem (porque y=\sqrt{1-x^{2}} corresponde à parte superior do círculo x^{2}+y^{2}=1).
  • A integral é do tipo \int_C f(x,y)\, \mathrm{d}s, ou seja, é uma integral de uma função escalar ao longo de uma curva, com respeito ao comprimento de arco \mathrm{d}s.
  • Não há orientação relevante (a integral com respect to \mathrm{d}s não depende da orientação).

Passo 2

Regra geral (fórmula que vou usar): se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) para t em [a,b], então a integral de uma função escalar f(x,y) ao longo de C é
\int_C f(x,y)\, \mathrm{d}s = \int_a^b f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}\, \mathrm{d}t.
Explicando: \mathrm{d}s é o elemento de comprimento de arco; ao parametrizar por t, ele vira \sqrt{(x')^2+(y')^2}\, \mathrm{d}t. Isso transforma a integral sobre a curva em uma integral usual em t.

Passo 3

Escolha de parametrização: para a semicircunferência superior do círculo unitário, a parametrização mais simples é a parametrização trigonométrica
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,\pi].
Justificativa: (\cos t,\sin t) descreve a circunferência unitária; tomando t de 0 a \pi obtemos exatamente a meia-circunferência superior (de (1,0) até (-1,0)). Essa parametrização costuma simplificar \mathrm{d}s porque as derivadas são senos e cossenos.

Passo 4

Calcular as derivadas e o elemento de arco:
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Logo
\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}=\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}=\sqrt{1}=1.
Portanto \mathrm{d}s = 1\cdot \mathrm{d}t=\mathrm{d}t. Substituindo a parametrização na função integranda:
f\big(x(t),y(t)\big)=3+5\big(\cos t\big)^2\big(\sin t\big)=3+5\cos^2 t\sin t.
Assim a integral sobre C vira uma integral em t:
\int_C\big(3+5x^{2}y\big)\, \mathrm{d}s = \int_{0}^{\pi}\big(3+5\cos^2 t\sin t\big)\, \mathrm{d}t.

Passo 5

Calcular a integral em t. Separo em dois termos:
\int_{0}^{\pi}\big(3+5\cos^2 t\sin t\big)\, \mathrm{d}t = \int_{0}^{\pi}3\,\mathrm{d}t \;+\; 5\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\sin t\,\mathrm{d}t.
Primeiro termo:
\int_{0}^{\pi}3\,\mathrm{d}t = 3\big[t\big]_{0}^{\pi}=3\pi.
Segundo termo: usar substituição u=\cos t. Então \mathrm{d}u=-\sin t\,\mathrm{d}t, logo \sin t\,\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u. Quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=\pi temos u=\cos\pi=-1. Portanto
\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\sin t\,\mathrm{d}t = \int_{t=0}^{t=\pi} (\cos t)^2\sin t\,\mathrm{d}t = \int_{u=1}^{u=-1} u^2(-\mathrm{d}u) = \int_{u=-1}^{u=1} u^2\,\mathrm{d}u.
Agora integrar u^2:
\int_{-1}^{1} u^2\,\mathrm{d}u = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Multiplicando pelo fator 5 do termo:
5\int_{0}^{\pi}\cos^2 t\sin t\,\mathrm{d}t = 5\cdot\frac{2}{3}=\frac{10}{3}.
Somando com o primeiro termo:
3\pi + \frac{10}{3}.

Passo 6

Recapitulando de forma informal: parametrizei a semicircunferência com (\cos t,\sin t), notei que \mathrm{d}s=\mathrm{d}t nessa parametrização, substituí na integral e usei uma substituição simples ( u=\cos t) para calcular a parte com \cos^2 t\sin t. Pronto — não foi tão traumático quanto parecia! Força aí que você já ganhou prática com integrais de linha de funções escalares.

Resposta

3\pi+\dfrac{10}{3}

Exercícios relacionados