\hline 31) & Calcule \iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y onde R é descrita por -1 \leq x \leq 1 e
0 \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}} . \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,
onde a região R é dada por:
  • -1 \leq x \leq 1;
  • 0 \leq y \leq \sqrt{1-x^{2}}.
Portanto a pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral sobre a região R?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é e^{x^{2}+y^{2}}.
  • A região R descrita por -1\le x\le 1 e 0\le y\le \sqrt{1-x^{2}} é a metade superior do disco de raio 1 centrado na origem (ou seja, o semicírculo superior incluindo a borda).

Passo 2

Por que e como mudar de coordenadas: como e^{x^{2}+y^{2}} depende apenas de x^{2}+y^{2} e a região é um semicírculo, é muito conveniente trocar para coordenadas polares. Vou explicar as coordenadas polares passo a passo.
Definição e transformação:
  • Em coordenadas polares, cada ponto (x,y) é representado por (r,\theta) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao centro e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Elemento de área (Jacobiano):
  • Ao trocar as variáveis de (x,y) para (r,\theta), o elemento de área se transforma como
\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.
Explicação rápida: geometricamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta (o fator r aparece porque um arco de ângulo \mathrm{d}\theta tem comprimento aproximado r\,\mathrm{d}\theta).

Passo 3

Determinar os limites em polares para a região R.
A condição x^{2}+y^{2}\le 1 com y\ge 0 descreve o semicírculo superior de raio 1. Em coordenadas polares isso vira:
  • r varia de 0 até 1: 0 \le r \le 1.
  • \theta varia do eixo positivo x até o eixo negativo x passando pela parte superior: 0 \le \theta \le \pi.
Logo os limites são r\in[0,1] e \theta\in[0,\pi].

Passo 4

Reescrever a integral em polares.
Como x^{2}+y^{2}=r^{2} e \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta, a integral fica
\iint_{R} e^{x^{2}+y^{2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\; r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r usando uma substituição simples.
Considere a integral interna
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,\mathrm{d}r.
Faça a substituição u = r^{2}. Então \mathrm{d}u = 2r\,\mathrm{d}r, isto é r\,\mathrm{d}r = \tfrac{1}{2}\mathrm{d}u. Quando r=0 temos u=0; quando r=1 temos u=1. Assim
\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,\mathrm{d}r = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr).

Passo 6

Calcular a integral externa em \theta e combinar resultados.
A integral completa é
\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{1} e^{r^{2}}\, r\,\mathrm{d}r\right)\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr)\,\mathrm{d}\theta.
O integrando é constante em \theta, então
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr)\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr)\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2}\bigl(e-1\bigr)\cdot \pi.
Portanto o valor final é \dfrac{\pi}{2}\bigl(e-1\bigr).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\bigl(e-1\bigr)

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