\hline 31) & Calcule
onde
é descrita por
e
\
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é dada por:
-
; -
.
Portanto a pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral sobre a região
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é
. - A região
descrita por e é a metade superior do disco de raio centrado na origem (ou seja, o semicírculo superior incluindo a borda).
Passo 2
Por que e como mudar de coordenadas: como
depende apenas de
e a região é um semicírculo, é muito conveniente trocar para coordenadas polares. Vou explicar as coordenadas polares passo a passo.
Definição e transformação:
- Em coordenadas polares, cada ponto
é representado por com
onde
é a distância ao centro e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
Elemento de área (Jacobiano):
- Ao trocar as variáveis de
para , o elemento de área se transforma como
Explicação rápida: geometricamente, um pequeno retângulo em
tem área aproximada
(o fator
aparece porque um arco de ângulo
tem comprimento aproximado
).
Passo 3
Determinar os limites em polares para a região
.
A condição
com
descreve o semicírculo superior de raio
. Em coordenadas polares isso vira:
-
varia de até : . -
varia do eixo positivo até o eixo negativo passando pela parte superior: .
Logo os limites são
e
.
Passo 4
Reescrever a integral em polares.
Como
e
, a integral fica
Passo 5
Calcular a integral interna em
usando uma substituição simples.
Considere a integral interna
Faça a substituição
. Então
, isto é
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Passo 6
Calcular a integral externa em
e combinar resultados.
A integral completa é
O integrando é constante em
, então
Portanto o valor final é
.