Encontre f^prime(x).
13. -cossec x1+cossec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = -cossecx1+cossecx
O conteúdo que vamos usar inclui a definição cossecx = tfrac1sin x, simplificação algébrica e, depois, regra de cadeia (ou quociente) para derivar.

Passo 2

Substituindo cossecx = tfrac1sin x, temos
f(x) = -tfrac1sin x1 + tfrac1sin x = -tfrac1sin xtfracsin x + 1sin x = -1sin x + 1 = -(1+sin x)^-1

Passo 3

Agora aplicamos regra de cadeia a
f(x) = -(1+sin x)^-1
A derivada de (1+sin x)^-1 é
-1cdot(1+sin x)^-2cdotddx(1+sin x) = -1cdot(1+sin x)^-2cdotcos x
Como f(x) tem o sinal negativo na frente,
f'(x) = -l[-(1+sin x)^-2cos xr] = cos x(1+sin x)^2

Resposta

f'(x) = cos x(1+sin x)^2

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