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Encontre se .
Encontre se .
Encontre uma fórmula para se . Encontre .
Use a definição da derivada para demonstrar que
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Passo 1

O enunciado reúne cinco itens sobre derivadas:
  1. Derivar implicitamente y=lnl(x^2+y^2r).
  2. Derivar implicitamente x^y=y^x.
  3. Encontrar a fórmula do n-ésimo derivada de f(x)=ln(x-1).
  4. Calcular dfracd^9dx^9l(x^8ln xr).
  5. Usar a definição de derivada para mostrar limxto0ln(1+x)x=1.
    Vamos precisar de regra da cadeia, ln dos dois lados em casos implícitos, fórmula geral de derivadas de potências e produto (Leibniz) e a definição básica de derivada.

Passo 2

Para y=lnl(x^2+y^2r), aplicamos derivada em ambos os lados:
y' = 1x^2+y^2l(2x + 2y,y'r)
Multiplicando por x^2+y^2 e isolando y':
y'(x^2+y^2) = 2x + 2y,y' Longrightarrow y'l(x^2+y^2-2yr)=2x Longrightarrow y'=2xx^2+y^2-2y

Passo 3

Para x^y=y^x tomamos ln e derivamos:
yln x = xln y Longrightarrow y'ln x + yx = ln y + xy,y'
Reagrupando os termos em y':
y'l(ln x - tfracxyr) = ln y - tfracyx Longrightarrow y'=ln y - tfracyxln x - tfracxy

Passo 4

Para f(x)=ln(x-1) note que f'(x)=tfrac1x-1 e cada derivada sucessiva gera fator -1 e potência a mais no denominador. Assim, para n>=1:
f^(n)(x) =d^,ndx^nln(x-1) =(-1)^,n-1(n-1)!(x-1)^n

Passo 5

Em d^9dx^9l(x^8ln xr) usamos a regra de Leibniz ou observamos que, para m=n+1,
dfracd^n+1dx^n+1l(x^nln xr)=dfracn!x.
Aqui n=8 e m=9, logo
d^9dx^9l(x^8ln xr)=8!x

Passo 6

Considere g(x)=ln(1+x). Pela definição de derivada em 0:
g'(0)=limxto0g(x)-g(0)x-0 =limxto0ln(1+x)x
Mas g'(x)=11+x, então g'(0)=1. Logo
limxto0ln(1+x)x=1

Resposta

Para y=ln(x^2+y^2):
y'=2xx^2+y^2-2y
Para x^y=y^x:
y'=ln y - tfracyxln x - tfracxy
Para f(x)=ln(x-1):
f^(n)(x)=(-1)^,n-1(n-1)!(x-1)^n
d^9dx^9l(x^8ln xr)=8!x
limxto0ln(1+x)x=1

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