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Encontre
se
.
Encontre
se
.
Encontre uma fórmula para
se
. Encontre
.
Use a definição da derivada para demonstrar que
\
Encontre
|
Encontre
|
Encontre uma fórmula para
|
Use a definição da derivada para demonstrar que
|
Passo 1
O enunciado reúne cinco itens sobre derivadas:
- Derivar implicitamente
. - Derivar implicitamente
. - Encontrar a fórmula do
-ésimo derivada de . - Calcular
. - Usar a definição de derivada para mostrar
.
Vamos precisar de regra da cadeia, ln dos dois lados em casos implícitos, fórmula geral de derivadas de potências e produto (Leibniz) e a definição básica de derivada.
Passo 2
Para
, aplicamos derivada em ambos os lados:
Multiplicando por
e isolando
:
Passo 3
Para
tomamos
e derivamos:
Reagrupando os termos em
:
Passo 4
Para
note que
e cada derivada sucessiva gera fator
e potência a mais no denominador. Assim, para
:
Passo 5
Em
usamos a regra de Leibniz ou observamos que, para
,
.
Aqui e
, logo
Aqui
Passo 6
Considere
. Pela definição de derivada em
:
Mas
, então
. Logo
Resposta
Para
:
Para
:
Para
: